Εξίσωση

kostas136 · #1

Μια εξίσωση που μου άρεσε ιδιαίτερα για το τεχνασματάκι της. Να λύσετε την:

$\displaystyle \sqrt{x-2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}=2$

mathxl · #2

Μία λύση

$\displaystyle{\sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } + \sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } = 2 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} } \right)}^2} - 2\sqrt {x - 1} + 1} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} } \right)}^2} + 2\sqrt {x - 1} + 1} = 2 \wedge x \ge 1 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)}^2}} = 2 \wedge x \ge 1 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\left| {\sqrt {x - 1} - 1} \right| + \sqrt {x - 1} + 1 = 2 \wedge x \ge 1 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\left( {\sqrt {x - 1} - 1 + \sqrt {x - 1} + 1 = 2 \wedge x \ge 2} \right) \vee \left( { - \sqrt {x - 1} + 1 + \sqrt {x - 1} + 1 = 2 \wedge 1 \le x < 2} \right) \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\left( {\sqrt {x - 1} = 1 \wedge x \ge 2} \right) \vee \left( {1 \le x < 2} \right) \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{x = 2 \vee \left( {1 \le x < 2} \right) \Leftrightarrow 1 \le x \le 2}$

kostas136 · #3

Ευχαριστώ για την ενασχόληση. Μου άρεσε ιδιαίτερα το τέχνασμα για την δημιουργία της ταυτότητας, γι' αυτό και την διάλεξα.

KARKAR · #4

Πρέπει $x\geq 1 , x-2\sqrt{x-1}\geq 0\Leftrightarrow x\leq 2$

Η εξίσωση γράφεται : $\sqrt{(\sqrt{x-1})^{2}-2\sqrt{x-1}+1}+\sqrt{(\sqrt{x-1})^{2}+2\sqrt{x-1}+1}=2$

$\Leftrightarrow \sqrt{(\sqrt{x-1}-1)^{2}}+\sqrt{(\sqrt{x-1}+1)^{2}}=2$

$\Leftrightarrow \left|\sqrt{x-1}-1 \right|+\left|\sqrt{x-1}+1 \right|=2$ , η οποία ισχύει για κάθε $x\in[1,2]$

αφού η $\left|a-1 \right|+\left|a+1 \right|$ ισχύει για κάθε $-a \in [-1,1]$ (από ιδιότητες της απόλυτης τιμής)

δηλαδή (λόγω του περιορισμού) : $0\leq \sqrt{x-1}\leq 1\Leftrightarrow 0\leq x-1\leq 1\Leftrightarrow 1\leq x\leq 2$

mathxl · #5

Αλλιώς
Για χ >=1
Έστω
$\displaystyle{A = \sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} } + \sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{A^2} = x - 2\sqrt {x - 1} + x + 2\sqrt {x - 1} + 2\sqrt {{x^2} - 4\left( {x - 1} \right)} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{A^2} = 2x + 2\left| {x - 2} \right| \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{A^2} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {4x - 4,x > 2} \\ {4,1 \le x \le 2} \\ \end{array}} \right.}$

Για την εξίσωση μας πρέπει και αρκεί
$\displaystyle{4 = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {4x - 4,x > 2} \\ {4,1 \le x \le 2} \\ \end{array}} \right. \Leftrightarrow 1 \le x \le 2}$

Εξίσωση

Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση