ΠΡΟΣΗΜΟ ΡΙΖΩΝ

alexandropoulos · #1

Δίνεται η εξίσωση
$\left(\lambda -2 \right)x^2-2\left(2\lambda -1 \right)x+\left(2\lambda -1 \right)\left(\lambda +2 \right)=0$
α) Να προσδιορίσετε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ, ώστε η εξίσωση να είναι
δευτεροβάθμια με δύο ρίζες άνισες.
β) Αν η εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες, να προσδιορίσετε την τιμή του λ ώστε οι ρίζες να είναι:
i) ομόσημες
ii) αρνητικές
iii) ετερόσημες, με απόλυτα μεγαλύτερη την αρνητική

vanalex · #2

alexandropoulos έγραψε:Δίνεται η εξίσωση
$\left(\lambda -2 \right)x^2-2\left(2\lambda -1 \right)x+\left(2\lambda -1 \right)\left(\lambda +2 \right)=0$
α) Να προσδιορίσετε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ, ώστε η εξίσωση να είναι
δευτεροβάθμια με δύο ρίζες άνισες.
β) Αν η εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες, να προσδιορίσετε την τιμή του λ ώστε οι ρίζες να είναι:
i) ομόσημες
ii) αρνητικές
iii) ετερόσημες, με απόλυτα μεγαλύτερη την αρνητική

Καλησπέρα,

α) Για να είναι η παραπάνω εξίσωση δευτεροβάθμια και να έχει δύο ρίζες άνισες πρέπει:

$\displaystyle { \begin{cases} \lambda \neq 2 \\ \Delta >0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \lambda \neq 2 \\-4\left(2\lambda -1 \right)\left(\lambda ^{2}-2\lambda -3 \right) >0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \lambda \neq 2 \\ \lambda \in \left(-\propto ,-1 \right)U\left(\frac{1}{2},3 \right) \end{cases}\Rightarrow \lambda \in \left(-\propto ,-1 \right)U\left(\frac{1}{2},2 \right)U\left(2,3 \right)}$

β) i) Για να έχει 2 ρίζες ομόσημες και άνισες πρέπει να ισχύει ό,τι ισχύει στο α) ερώτημα και επιπλέον το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης να είναι θετικό, δηλαδή:

$\displaystyle {P>0\Leftrightarrow \frac{\left(2\lambda -1 \right)\left(\lambda +2 \right)}{\lambda -2}>0\Leftrightarrow \left(2\lambda -1 \right)\left(\lambda +2 \right)\left(\lambda -2 \right)>0\; \; \; \mu \epsilon \; \; \lambda \neq 2\; \; \alpha \varrho \alpha \; \; \lambda \in \left(-2,\frac{1}{2} \right)U\left(2,+\propto \right)}$

Οπότε: $\displaystyle { \begin{cases} \lambda \in \left(-\propto ,-1 \right)U\left(\frac{1}{2},2 \right)U\left(2,3 \right) \\\lambda \in \left(-2,\frac{1}{2} \right) U\left(2,+\propto \right) \end{cases}\Rightarrow \lambda \in \left(-2,1 \right)U\left(2,3 \right)}$

ii) Για να έχει 2 ρίζες άνισες και αρνητικές θα πρέπει να ισχύει ό,τι ισχύει στο α) ερώτημα και επιπλέον το άθροισμα των ριζών να είναι αρνητικό, δηλαδή:

$\displaystyle {S<0\Leftrightarrow \frac{2\left(2\lambda -1 \right)}{\lambda -2}\Leftrightarrow \left(2\lambda -1 \right)\left(\lambda -2 \right)<0\; \; \mu \epsilon \; \; \lambda \neq 2\; \; \alpha \varrho \alpha \; \; \lambda \in \left(\frac{1}{2},2 \right)}$ . Οπότε συνολικά έχουμε:

$\displaystyle {\begin{cases} \lambda \in \left(-\propto ,-1 \right)U\left(\frac{1}{2},2 \right)U\left(2,3 \right) \\ \lambda \in \left(\frac{1}{2},2 \right) \end{cases}\Rightarrow \lambda \in \left(\frac{1}{2},2 \right)}$

β) iii) Για να έχουμε 2 ρίζες άνισες ετερόσημες με μεγαλύτερη την αρνητική τότε οι αναγκαίες συνθήκες είναι:

$\displaystyle {\begin{cases} \lambda \neq 2 \\ \alpha \gamma <0 \\ S<0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \lambda \neq 2 \\ \left(2\lambda -1 \right) \left(\lambda +2 \right)\left(\lambda -2 \right)<0 \\ \left(2\lambda -1 \right)\left(\lambda -2 \right)<0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \lambda \neq 2 \\ \lambda \in \left(-\propto ,-2 \right)U\left(\frac{1}{2},2 \right) \\ \lambda \in \left(\frac{1}{2},2 \right) \end{cases} \Rightarrow \lambda \in \left(\frac{1}{2},2 \right)}$

ΠΡΟΣΗΜΟ ΡΙΖΩΝ

ΠΡΟΣΗΜΟ ΡΙΖΩΝ

Re: ΠΡΟΣΗΜΟ ΡΙΖΩΝ

Μέλη σε σύνδεση