Σύστημα

#1

Να λυθεί το σύστημα

$\displaystyle{\begin{cases} 3y-2x^2=\frac {1}{2} \\ 2z-3y^2=\frac {3}{4} \\ x-z^2=1 \end{cases}}$

#2

Μία προσέγγιση με μισό βλέμμα(το άλλο μισό...απεσύρθη!

)

Κάνοντας τις σχετικές απαλοιφές έχω:

$\displaystyle{ \begin{array}{l} 4x^2 - 6y + 1 = 0 \\ 12y^2 - 8z + 3 = 0 \\ z^2 - x + 1 = 0 \Rightarrow 4z^2 - 4x + 4 = 0 \\ \end{array} }$

(Πολλαπλασίασα την τελευταία επί 4)

Προσθέτοντας κατα μέλη έχω:

$\displaystyle{ 4x^2 - 4x + 1 + 4z^2 - 8z + 4 + 12y^2 - 6y + 3 = 0 \Rightarrow (2x - 1)^2 + 4(z - 1)^2 + 3(4y^2 - 2y + 1) = 0 }$

Όμως αν παρατηρήσουμε το εξής για το τριώνυμο $\displaystyle{ 4y^2 - 2y + 1 }$ :
Είναι $\displaystyle{ \Delta = 4 - 16 = - 12 < 0 }$ συνεπώς $\displaystyle{ 4y^2 - 2y + 1 > 0,\forall y \in R }$
με λίγα λόγια αυτό σημαίνει πως:

$\displaystyle{ (2x - 1)^2 + 4(z - 1)^2 + 3(4y^2 - 2y + 1) > 0,\forall x,y,z \in R }$

Επομένως το σύστημα είναι αδύνατο.

#3

Άλλη μία λύση :

Το σύστημα γράφεται:

$\displaystyle{\begin{cases} 3y=2\left(x^2+\frac {1}{4}\right)\\ 2z=3\left(y^2+\frac {1}{4}\right)\\ x=z^2+1 \end{cases}}$

Άρα x,y,z>0

.

Επειδή $\displaystyle{x^2+\frac {1}{4} \ge x}$ , $\displaystyle{y^2+\frac {1}{4} \ge y}$ και $\displaystyle{z^2+1 \ge 2z}$ έχουμε

$\displaystyle{3y \ge 2x \wedge 2z \ge 3y \wedge x \ge 2z \Rightarrow x\ge 2z \ge 3y \ge 2x \Rightarrow x \le 0}$ ,

άρα το σύστημα είναι αδύνατο.

Σύστημα

Σύστημα

Re: Σύστημα

Re: Σύστημα

Μέλη σε σύνδεση