Εξίσωση που ....ομορφαίνει τη ζωή !

#1

Η παρακάτω είναι μια εξίσωση που μπορεί να γίνει στην τάξη αλλά και να εντυπωσιάσει τα παιδιά, αν συζητηθεί αρκετά. Αξίζει μάλιστα να δοθεί και για το σπίτι μια παρόμοια με 10 όρους !

ΑΣΚΗΣΗ

Να λύσετε την εξίσωση :

$\displaystyle \frac {x-1}{2+3+4} + \frac {x-2}{1+3+4} +\frac {x-3}{1+2+4} +\frac {x-4}{1+2+3} =4$

Μπάμπης

#2

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Η παρακάτω είναι μια εξίσωση που μπορεί να γίνει στην τάξη αλλά και να εντυπωσιάσει τα παιδιά, αν συζητηθεί αρκετά. Αξίζει μάλιστα να δοθεί και για το σπίτι μια παρόμοια με 10 όρους !

ΑΣΚΗΣΗ

Να λύσετε την εξίσωση :

$\displaystyle \frac {x-1}{2+3+4} + \frac {x-2}{1+3+4} +\frac {x-3}{1+2+4} +\frac {x-4}{1+2+3} =4$

Μπάμπης

Μπάμπη, υποθέτω, ότι θα περίμενες την εξής λύση:

Πρόκειται για εξίσωση πρώτου βαθμού.
Ταυτότητα δεν είναι, αφού π.χ. για $\displaystyle{x=0}$ δεν ικανοποιείται.

Παρατηρούμε, ότι για $\displaystyle{x=10}$ ικανοποιείται, άρα αυτή είναι η μοναδική της λύση.

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #3

ή ίσως αυτή ...

$\displaystyle{\frac{{x - 1}}{9} - 1 + \frac{{x - 2}}{8} - 1 + \frac{{x - 3}}{7} - 1 + \frac{{x - 4}}{6} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 10} \right)\left( {\frac{1}{9} + \frac{1}{8} + \frac{1}{7} + \frac{1}{6}} \right) = 0}$

άρα x = 10 .

#4

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Η παρακάτω είναι μια εξίσωση που μπορεί να γίνει στην τάξη αλλά και να εντυπωσιάσει τα παιδιά, αν συζητηθεί αρκετά. Αξίζει μάλιστα να δοθεί και για το σπίτι μια παρόμοια με 10 όρους !

ΑΣΚΗΣΗ 1

Να λύσετε την εξίσωση :

$\displaystyle \frac {x-1}{2+3+4} + \frac {x-2}{1+3+4} +\frac {x-3}{1+2+4} +\frac {x-4}{1+2+3} =4$

Μπάμπης

Μετά και τις δύο ωραίες λύσεις των Θάνου και Χρήστου, μπορούμε να περάσουμε με τους μαθητές και στο επόμενο στάδιο, πάνω στο ίδιο μοτίβο :

ΑΣΚΗΣΗ 2

Αν οι αριθμοί a_1,a_2,a_3,a_4

είναι θετικοί με άθροισμα 2011

, να λύσετε την εξίσωση :

$\displaystyle \frac {x-a_1}{a_2+a_3+a_4} + \frac {x-a_2}{a_1+a_3+a_4} +\frac {x-a_3}{a_1+a_2+a_4} +\frac {x-a_4}{a_1+a_2+a_3} =4$

Μπάμπης

Γιώργος Απόκης · #5

"Aντιγράφω" από Χρήστο:

$\displaystyle{\frac{x}{a_2+a_3+a_4}-\frac{a_1}{a_2+a_3+a_4}+\frac{x}{a_1+a_3+a_4}-\frac{a_2}{a_1+a_3+a_4}+\frac{x}{a_1+a_2+a_4}-\frac{a_3}{a_1+a_2+a_4}+\frac{x}{a_1+a_2+a_3}-\frac{a_4}{a_2+a_3+a_4}=4}$

$\displaystyle{\frac{x}{a_2+a_3+a_4}-\frac{a_1+a_2+a_3+a_4}{a_2+a_3+a_4}+...+\frac{x}{a_1+a_2+a_3}-\frac{a_1+a_2+a_3+a_4}{a_1+a_2+a_3}=0}$

$\displaystyle{\frac{x}{a_2+a_3+a_4}-\frac{2011}{a_2+a_3+a_4}+...+\frac{x}{a_1+a_2+a_3}-\frac{2011}{a_1+a_2+a_3}=0}$

$\displaystyle{\frac{x-2011}{a_2+a_3+a_4}+\frac{x-2011}{a_1+a_3+a_4}+\frac{x-2011}{a_1+a_2+a_4}+\frac{x-2011}{a_1+a_2+a_3}=0}$

$\displaystyle{(x-2011)\left( \frac{1}{a_2+a_3+a_4}+\frac{1}{a_1+a_3+a_4}+\frac{1}{a_1+a_2+a_4}+\frac{1}{a_1+a_2+a_3}\right)=0}$

και αφού η 2η παρένθεση είναι θετική, x=2011

Γιώργος Απόκης · #6

... και για πιο μεγάλα "παιδιά"

Aν οι αριθμοί a_1,a_2,...a_n

είναι θετικοί με άθροισμα

, να λυθεί η εξίσωση

$\displaystyle{\frac{x-a_1}{a_2+a_3+...+a_n}+\frac{x-a_2}{a_1+a_3+...+a_n}+...+\frac{x-a_n}{a_1+a_2+...+a_{n-1}}=n}$

Χρήστος Λαζαρίδης · #7

Χωρίς να παρουσιάζω κάτι διαφορετικό, η άσκηση θα μπορούσε να παρουσιαστεί ως εξής:
Η εξίσωση ισοδυναμεί με την εξίσωση:
$\displaystyle{\frac{{x - \alpha _1 }}{{S - \alpha _1 }} + \frac{{x - \alpha _2 }}{{S - \alpha _2 }} + ... + \frac{{x - \alpha _n }}{{S - \alpha _n }} = n}$
Προφανής λύση χ = S, η οποία είναι και μοναδική.
Φιλικά Χρήστος

Εξίσωση που ....ομορφαίνει τη ζωή !

Εξίσωση που ....ομορφαίνει τη ζωή !

Re: Εξίσωση που ....ομορφαίνει τη ζωή !

Re: Εξίσωση που ....ομορφαίνει τη ζωή !

Re: Εξίσωση που ....ομορφαίνει τη ζωή !

Re: Εξίσωση που ....ομορφαίνει τη ζωή !

Re: Εξίσωση που ....ομορφαίνει τη ζωή !

Re: Εξίσωση που ....ομορφαίνει τη ζωή !

Μέλη σε σύνδεση