Άθροισμα απλών ριζικών

PanosG · #1

Δεν είμαι σίγουρος αν ειναι ο κατάλληλος φάκελος, αν και η άσκηση λύνεται άνετα με γνώσεις Α Λυκείου. Είναι από παλίο σχολικό βιβλίο(δεν το έχω πρόχειρο από ποιό).

Εστω η παράσταση $\sqrt{m+\sqrt{n}}$ όπου m,n θετικοί ρητοί και ο n όχι τετράγωνο ρητού. Να βρεθεί η συνθήκη που πρέπει να ικανοποιούν οι m,n, ώστε να υπάρχουν δυο ρητοί x,y για τους οποίους να ισχύει:
$\sqrt{m+\sqrt{n}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}$

Παράδειγμα
Να μετατραπεί σε άθροισμα απλών ριζικών η παράσταση $\sqrt{9+ \sqrt{56}}$

KARKAR · #2

Κατ' αρχάς γίνεται και χωρίς χρήση του τύπου : $\sqrt{9+\sqrt{56}}=\sqrt{9+2\sqrt{2}\sqrt{7}}=\sqrt{(\sqrt{7}+\sqrt{2}})^{2}=\sqrt{7}+\sqrt{2}}$ .

Τώρα η παράσταση : $\sqrt{m+\sqrt{n}} ,\mu \varepsilon ,m^{2}>n , \kappa \alpha \iota , m^{2}-n=k^{2} ,k>0$ ,(

,φυσικός ή ρητός)

παίρνει τη μορφή $\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{\frac{m+k}{2}}+\sqrt{\frac{m-k}{2}}$ , στην περίπτωσή μας : $\displaystyle k^{2}=9^{2}-56=25\Rightarrow k=5$

οπότε : $\displaystyle ... =\sqrt{\frac{9+5}{2}}+\sqrt{\frac{9-5}{2}}=\sqrt{7}+\sqrt{2}$

#3

Πράγματι, το θέμα αυτό ήταν ως θεωρία στα πολύ παλιά σχολικά βιβλία (δεκαετία του 1960 -1970)

Μπορούμε να βρούμε την ζητούμενη συνθήκη και ως εξής:

Έστω $\sqrt{m+\sqrt{n}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}\Rightarrow m+\sqrt{n}=x+y=2\sqrt{xy}$

Και αφού x,y m,n είναι ρητοί θα πρέπει

$x+y=m \sqrt{n}=2\sqrt{xy}$

Άρα

x+y=m

$xy=\frac{n^{2}}{4}$

Συνεπώς τα x,y είναι ρίζες της εξίσωσης $t^{2}-mt+\frac{n^{2}}{4}=0$

Και αφού η εξίσωση αυτοί πρέπει να έχει ρίζες ρητές θα είναι η διακρίνουσα τεράγωνο ρητού. Δηλαδή πρέπει

$m^{2}-n=k^{2}$

όπου k ρητός.

parmenides51 · #4

Ίδια μέθοδος κι εδώ

Άθροισμα απλών ριζικών

Άθροισμα απλών ριζικών

Re: Άθροισμα απλών ριζικών

Re: Άθροισμα απλών ριζικών

Re: Άθροισμα απλών ριζικών

Μέλη σε σύνδεση