Ελάχιστο αθροίσματος τετραγώνων

KARKAR · #1

Αν :

, δείξτε ότι : $x^{2}+y^{2}\geq100$ . Ποιός είναι ο λόγος $\displaystyle\frac{x}{y}$ , όταν $x^{2}+y^{2}=100$ ;

Γενικότερα , αν ax+by=c

, (

σταθερό) , τότε το $x^{2}+y^{2}$ , γίνεται ελάχιστο αν : $\displaystyle\frac{x}{a}=\frac{y}{b}$

#2

Επειδή $\displaystyle y=\frac{50-3x}{4}$ θα είναι:
$\displaystyle x^2+y^2\geq 100\Leftrightarrow x^2+\left(\frac{50-3x}{4} \right)^2-100\geq 0\Leftrightarrow \left(x-6 \right)^2\geq 0$
που ισχύει.
Για να ισχύει η ισότητα θα πρέπει να είναι $\displaystyle x=6$ και $\displaystyle y=\frac{50-3.6}{4}=8$
Άρα $\displaystyle \frac{x}{y}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$

Γενικότερα:
Πάλι είναι $\displaystyle y=\frac{c-ax}{b} \ \ (1)$ (Θεωρούμε $\displaystyle a,b\neq 0$ )
Άρα η $\displaystyle f(x)=x^2+y^2$ γίνεται:
$\displaystyle f(x)=x^2+(\frac{c-ax}{b})^2=\frac{1}{b^2}\left[(a^2+b^2)x^2-2acx+c^2 \right] \ \ (2)$
και επειδή το τριώνυμο: $\displaystyle (a^2+b^2)x^2-2acx+c^2$ έχει θετικό συντελεστή του δευτεροβάθμιου όρου ( $\displaystyle (a^2+b^2)>0$ )
άρα για $\displaystyle x=-\frac{\beta }{2\alpha }=-\frac{-2ac}{2\left(a^2+b^2 \right)}=\frac{ac}{a^2+b^2} \ \ (3)$ έχει ελάχιστη τιμή την
$\displaystyle \frac{\left|\Delta \right|}{4\alpha }=\frac{\left|-4b^2c^2 \right|}{4\left(a^2+b^2 \right)}=\frac{b^2c^2}{a^2+b^2}$
(διότι $\displaystyle \Delta =-4b^2c^2\leq 0$ )

Λόγω της (2) η τιμή αυτή του $\displaystyle x$ ελαχιστοποιεί και την $\displaystyle f(x)$ με
$\displaystyle f_{min}(x)=\frac{1}{b^2}\frac{b^2c^2}{a^2+b^2}=\frac{c^2}{a^2+b^2}$

Λόγω της (1) είναι ακόμα:
$\displaystyle y=\frac{c-ax}{b}=\frac{c-a\frac{ac}{a^2+b^2}}{b}=\frac{bc}{a^2+b^2} \ \ (4)$

Από τις (3) και (4) προκύπτει ότι οι τιμές των $\displaystyle x,y$ πουν ελαχιστοποιούν την $\displaystyle f(x)$
ικανοποιούν τη σχέση:
$\displaystyle \frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{c}{a^2+b^2}$

#3

Διαφορετικά, έχουμε $(ax+by)^2 + (bx-ay)^2 = \cdots = (a^2+b^2)(x^2 + y^2)$ και άρα $\displaystyle{ x^2 + y^2 = \frac{c^2 + (bx - ay)^2}{a^2 + b^2} \geqslant \frac{c^2}{a^2 + b^2}}$ με ισότητα αν και μόνο αν bx = ay

.

GMANS · #4

Μια λύση με Β λυκείου (βγαίνοντας βέβαια από τα πλαίσια του θεματοθέτη )
Έστω

$\vec{v}=(3,4),\vec{u}=(x,y)$
τότε

$50=\left|\vec{v} \right|\left|\vec{u} \right|cos(\hat{\vec{v},\vec{u}})\Rightarrow$
$\frac{10}{\sqrt{x^2+y^2}}\leq 1\Leftrightarrow x^2+y^2\geq 100$

Αν x^2+y^2=100

τότε

$\right|cos(\hat{\vec{v},\vec{u}})=1\Rightarrow$
$\vec{v}//\vec{u}\Rightarrow 3y-4x=0\Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{3}{4}$
Όμοια μπορούμε να εργαστούμε και στην γενική περίπτωση

parmenides51 · #5

Μια διαφορετική λύση από Α΄Λυκείου για την γενίκευση.

Έστω $\displaystyle{M(x,y)}$ σημείο της ευθείας $\displaystyle{(\epsilon )}$ $\displaystyle{ax+by=c}$ με $\displaystyle{a,b,c \in R}$ και $|a|+|b|\neq 0$ .
Δεχόμαστε επιπλέον ότι $a b\neq 0$ για να ορίζονται οι παρανομαστές στην αποδεικτέα σχέση $\displaystyle{\frac{x}{a} =\frac{y}{b}}$ .
Η παράσταση $\displaystyle{x^2+y^2=(x-0)^2+(y-0)^2=(\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2})^2=(OM)^2}$ είναι
δηλαδή το τετράγωνο της απόστασης του σημείου $\displaystyle{M}$ από την αρχή τον αξόνων $\displaystyle{O(0,0)}$ .
Το τετράγωνο (OM)^2

γίνεται ελάχιστο γίνεται όταν η απόσταση $\displaystyle{OM}$ γίνεται ελάχιστη,
στο πλησιέστερο σημείο της αρχής των αξόνων $\displaystyle{O}$ προς την ευθεία $\displaystyle{(\epsilon )}$ ,
το οποίο είναι το σημείο τομής της ευθείας $\displaystyle{(\epsilon )}$ και της ευθείας $\displaystyle{(\eta )}$ που διέρχεται από το $\displaystyle{O}$ και είναι κάθετη στην $\displaystyle{(\epsilon )}$ .
Η ευθεία $\displaystyle{(\eta )}$ διέρχεται από την αρχή των αξόνων άρα θα είναι της μορφής $\displaystyle{y= \lambda x}$ με $\displaystyle{\lambda \in R}$ .
Οι ευθείες $\displaystyle{(\epsilon )}$ και $\displaystyle{(\eta )}$ είναι κάθετες οπότε:
Αφού $b\neq 0$ ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης της $\displaystyle{(\epsilon )}$ και ισούται με $\displaystyle{-\frac {a}{b}}$ κι επειδή οι κάθετες ευθείες έχουν αντιθετοαντίστροφους συντελεστές διεύθυνσης όταν ορίζονται και οι δυο,
τότε θα ισχύει ότι $\displaystyle{\lambda =\frac {b}{a}}$ .
'Αρα η (η) θα έχει την εξίσωση $\displaystyle{y= \frac{b}{a} x}$ από όπου φαίνεται ότι η (μοναδική) λύση του συστήματος $\displaystyle{(\epsilon )}$ και $\displaystyle{(\eta )}$ θα ικανοποιεί την σχέση $\displaystyle{\frac{x}{a} =\frac{y}{b}}$ .
Η παραπάνω λύση είναι μοναδική γιατί οι μη παράλληλες ευθείες τέμνονται σε μοναδικό σημείο.

Υ.Γ.Ένα σχήμα ενδεχομένως να βόλευε αλλά προς το παρόν δεν έχω ασχοληθεί με αυτά.

Ελάχιστο αθροίσματος τετραγώνων

Ελάχιστο αθροίσματος τετραγώνων

Re: Ελάχιστο αθροίσματος τετραγώνων

Re: Ελάχιστο αθροίσματος τετραγώνων

Re: Ελάχιστο αθροίσματος τετραγώνων

Re: Ελάχιστο αθροίσματος τετραγώνων

Μέλη σε σύνδεση