Αλγεωμετρία!!!!!

Συντονιστής: stranton

pana1333
Δημοσιεύσεις: 1028
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Αλγεωμετρία!!!!!

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από pana1333 » Τρί Ιούλ 05, 2011 6:41 pm

Με αφορμή το "ενιαίο" μάθημα της Άλγεβρας - Γεωμετρίας Α λυκείου, δίνω μία απλή άσκηση για το πως θα μπορούσαν να είναι οι εξετάσεις ή οι δραστηριότητες. Θα παρακαλούσα όποιον συνάδελφο ενδιαφέρει κάτι τέτοιο να εμπλουτίσει την ιδέα με τις δικές του πρωτότυπες ασκήσεις - δραστηριότητες. Δεν υπάρχει ακόμα τέτοιος φάκελος οπότε επέλεξα το φάκελο της άλγεβρας.

Άσκηση

Έστω κύκλος με κέντρο Κ και ακτίνα R=x^{2} και κύκλος με κέντρο Λ και ακτίνα \rho =-x. Η απόσταση των δύο κέντρων ΚΛ ισούται με 2.

Ερωτήματα

1) Να ορίσετε τον αριθμό x.
2)Για ποιές τιμές του x οι δύο κύκλοι είναι ίσοι;
3) Για ποιές τιμές του x οι δύο κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά ή ο ένας είναι εξωτερικός του άλλου;
4) Ποια εξίσωση πρέπει να λύσουμε για να εξετάσουμε αν οι δύο κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά; Να βρεθούν σε αυτή τη περίπτωση οι ακτίνες των δύο κύκλων.
5) Για x=-1 να αποδείξετε ότι τα ευθύγραμμα τμήματα ΚΑ,ΛΑ είναι ίσα, όπου Α τυχαίο σημείο της εσωτερικής εφαπτομένης των δύο κύκλων.
6) Να γράψετε (συνάρτηση του x) την μέγιστη και την ελάχιστη απόσταση των δύο κύκλων.


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2771
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Αλγεωμετρία!!!!!

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Τετ Ιούλ 06, 2011 12:15 pm

Καλή αρχή στο ενιαίο μάθημα!!!

α) Πρέπει: R>0 \Leftrightarrow x^2 > 0 \Leftrightarrow x \neq 0 (I)
και \rho > 0 \Leftrigharrow -x>0 \Leftrightarrow x < 0 (II).
Από τις (Ι) και (ΙΙ) προκύπτει ότι x<0 (III).

β) Οι δύο κύκλοι είναι ίσοι, όταν για x>0 ισχύει:
R=\rho \Leftrightarrow x^2=-x \Leftrightarrow x^2+x=0 \Leftrightarrow x(x+1)=0 \Leftrightarrow
\Leftrightarrow x = 0 (απορρίπτεται) ή x=-1 (δεκτή).

γ) Οι δύο κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά ή ο ένας είναι εξωτερικός του άλλου, όταν για x<0 ισχύει:
K\Lambda \geq R + \rho \Leftrightarrow 2 \geq x^2-x \Leftrightarrow x^2-x-2 \leq 0\Leftrightarrow -1 \leq x \leq 2,
οπότε λόγω της (ΙΙΙ) παίρνουμε: -1 \leq x < 0.

δ) Για να εφάπτονται οι δύο κύκλοι εσωτερικά πρέπει για x<0 να ισχύει:
K\Lambda = |R-\rho| \Leftrightarrow 2 = |x^2+x| \Leftrightarrow \pm 2 = x^2+x \Leftrightarrow x^2+x-2=0 ή x^2+x+2=0 \Leftrightarrow
\Leftrightarrow x=1(απορρίπτεται) ή x=-2(δεκτή), αφού η εξίσωση x^2+x+2=0 είναι αδύνατη.
Οι ακτίνες των κύκλων σε αυτή την περίπτωση είναι: R=4 και \rho =2.

ε) Για x=-1 έχουμε: R=1 και \rho =1, οπότε K\Lambda = R+\rho,
δηλαδή οι κύκλοι είναι ίσοι και εφάπτονται εξωτερικά, οπότε η κοινή εσωτερική εφαπτομένη είναι μεσοκάθετος της διακέντρου, οπότε τα Κ, Λ ισαπέχουν από κάθε σημείο της κοινής εσωτερικής εφαπτομένης, δηλαδή ΚΑ = ΛΑ.

στ) Η ελάχιστη απόσταση των δύο κύκλων είναι 0 και προκύπτει όταν οι κύκλοι εφάπτονται, ενώ η μέγιστη απόσταση των δύο κύκλων προκύπτει όταν ο ένας είναι εξωτερικός του άλλου και είναι ίση με:
K\Lambda +(R+\rho) = 2+x^2-x, για x \in(-1,0), όπου ο ένας κύκλος είναι εξωτερικός του άλλου.

Υ.Γ. Ευχαριστώ τον Χρήστο για τον όμορφο διάλογο μέσω π.μ. :clap:


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης