Εξίσωση με x,y,z

PanosG · #1

Αποδείξτε ότι (x,y,z)

είναι λύση της παρακάτω εξίσωσης αν και μόνο αν
$\displaystyle x+y=z$ ή $\displaystyle y+z=x$ ή $\displaystyle z+x=y$

$\displaystyle \frac{y^2+z^2-x^2}{2yz}+\frac{z^2+x^2-y^2}{2zx}+\frac{x^2+y^2-z^2}{2xy}=1$

όπου $x,y,z\in\mathbb{R^*}$

Eukleidis · #2

Πολλαπλασιάζοντας με $\displaystyle{2xyz}$ η δοθείσα γίνεται:
$\displaystyle{\underline {x{y^2}} + \underline{\underline {x{z^2}}} - {x^3} + y{z^2} + y{x^2}\underline { - {y^3}} + \underline{\underline {z{x^2}}} + \underline {z{y^2}} - {z^3}\underline{\underline { - xyz}} - xyz = 0 \Leftrightarrow }$ \displaystyle{\displaystyle{{y^2}\left( {x + z - y} \right) + xz\left( {x + z - y} \right) - {x^3}\underline { + y{z^2}} + y{x^2}\underline { - {z^3}} - xyz = 0 \Leftrightarrow }} $\displaystyle{{y^2}\left( {x + z - y} \right) + xz\left( {x + z - y} \right) - {z^2}\left( {x + z - y} \right) - {x^3} + y{x^2}\underline{\underline { - xyz}} + \underline{\underline {{z^2}x}} = 0 \Leftrightarrow }$ \displaystyle{\displaystyle{{y^2}\left( {x + z - y} \right) + xz\left( {x + z - y} \right) - {z^2}\left( {x + z - y} \right) + xz\left( {x + z - y} \right) - {x^3} + y{x^2} - {x^2}z = 0 \Leftrightarrow }} $\displaystyle{{y^2}\left( {x + z - y} \right) + xz\left( {x + z - y} \right) - {z^2}\left( {x + z - y} \right) + xz\left( {x + z - y} \right) - {x^2}\left( {x + z - y} \right) = 0 \Leftrightarrow }$ \displaystyle{\displaystyle{\left( {x + z - y} \right)\left( {{y^2} + 2xz - {x^2} - {z^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x + z - y} \right)\left[ {{y^2} - {{\left( {x - z} \right)}^2}} \right] = 0 \Leftrightarrow }} $\displaystyle{\left( {x + z - y} \right)\left( {y + x - z} \right)\left( {y - x + z} \right) = 0}$ από όπου προκύπτει άμεσα το ζητούμενο.

Εξίσωση με x,y,z

Εξίσωση με x,y,z

Re: Εξίσωση με x,y,z

Μέλη σε σύνδεση