Σύγκριση αριθμών

KARKAR · #1

Να συγκριθούν οι αριθμοί : $\sqrt[100]{99^{100}+100^{100}}, \sqrt[99]{99^{99}+100^{99}}$

tdsotm111 · #2

Αρκεί να βρούμε την μονοτονία της $h(x)=(99^x+100^x)^{\frac{1}{x}}$
Αν θέσουμε ως $f(x)=x^{\frac{1}{x}}$ εύκολα βρίσκουμε ότι είναι φθίνουσα για x>e.
Επίσης η g(x)=99^x+100^x

είναι προφανώς αύξουσα.
Επομένως:
$99<100 \Leftrightarrow g(99)<g(100) \Leftrightarrow f(g(99))>f(g(100))\Leftrightarrow h(99)>h(100)$

#3

tdsotm111 έγραψε:....εύκολα βρίσκουμε ότι είναι φθίνουσα για x>e...

Καλημέρα Τάσο.Δεν το βλέπω και τόσο εύκολο αυτό,ειδικά στον φάκελο που βρίσκεται το συγκεκριμένο θέμα.

Έχω $\displaystyle{ \begin{array}{l} 99^{99} < 99^{100} (99 > 1) \\ 100^{99} < 100^{100} (100 > 1) \\ \end{array} }$
Προσθέτοντας κατά μέλη έχω:

$\displaystyle{ 99^{99} + 100^{99} < 99^{100} + 100^{100} }$
Αν αυτήν την ανισότητα την πολλαπλασιάσω 99 φορές με τον εαυτό της έχω:

$\displaystyle{ (99^{99} + 100^{99} )^{99} < (99^{100} + 100^{100} )^{99} }$
Όμως $\displaystyle{ (99^{100} + 100^{100} )^{99} < (99^{100} + 100^{100} )^{100} (99^{100} + 100^{100} > 1) }$
Άρα:

$\displaystyle{ (99^{99} + 100^{99} )^{99} < (99^{100} + 100^{100} )^{100} }$
Συνεπώς θα είναι και:
$\displaystyle{ \sqrt[{9900}]{{(99^{99} + 100^{99} )^{99} }} < \sqrt[{9900}]{{(99^{100} + 100^{100} )^{100} }} \Rightarrow (99^{99} + 100^{99} )^{\frac{{99}}{{9900}}} < (99^{100} + 100^{100} )^{\frac{{100}}{{9900}}} \Rightarrow (99^{99} + 100^{99} )^{\frac{1}{{100}}} < (99^{100} + 100^{100} )^{\frac{1}{{99}}} }$
Δηλαδή:

$\displaystyle{ \sqrt[{100}]{{99^{99} + 100^{99} }} < \sqrt[{99}]{{99^{100} + 100^{100} }} }$

ΥΓ:Παρακαλώ μη δώσετε και πολύ σημασία στη σύγκριση που κάνω γιατί συγκρίνα άλλους,άσχετους αριθμούς σε σχέση με αυτό που ζητά η άσκηση.Ευχαριστώ πολύ τον Δημήτρη(Demetres) για την υπόδειξη του παραστρατήματος!Δεν είναι η μέρα μου σήμερα...

Σύγκριση αριθμών

Σύγκριση αριθμών

Re: Σύγκριση αριθμών

Re: Σύγκριση αριθμών

Μέλη σε σύνδεση