Μίξη Άλγεβρας - Γεωμετρίας

KARKAR · #1

Το θέμα ανήκει στο μάθημα "Μίξη Άλγεβρας - Γεωμετρίας" , με το προσωνύμιο "Η χαρά του Μαθηματικού " !

Σε τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι εγγεγραμμένο τετράγωνο , του οποίου η μία πλευρά βρίσκεται επί της πλευράς

του τριγώνου

1) Υπολογίστε την πλευρά του τετραγώνου , συναρτήσει της

και του προς αυτήν ύψους ,

2) Δείξτε ότι : $\displaystyle \frac{(DEZH)}{(ABC)}\leq \frac{1}{2}$

Ιστοσελίδα · #2

Σημαντική άσκηση για την νέα Α λυκείου που θα είναι κοινό το τελικό διαγώνισμα της Άλγεβρας και της Γεωμετρίας.

α) Από την ομοιότητα των τριγώνων $\displaystyle{ADE}$ και $\displaystyle{ABC}$ έχουμε:
$\displaystyle{ \frac{{DE}}{{BC}} = \frac{{AK}}{{A\Lambda }} \Rightarrow \frac{x}{\alpha } = \frac{{h - x}}{h} \Rightarrow x = \frac{{\alpha \cdot h}}{{\alpha + h}} }$

β) Έχουμε:
$\displaystyle{ \frac{{(DEZH)}}{{(ABC)}} = \frac{{x^2 }}{{\frac{1}{2}\alpha h}} = \frac{{\left( {\frac{{\alpha h}}{{\alpha + h}}} \right)^2 }}{{\frac{1}{2}\alpha h}} = \frac{{2\alpha h}}{{(\alpha + h)^2 }} }$

αρκεί λοιπόν να δειχθεί ότι:

$\displaystyle{ \frac{{2\alpha h}}{{(\alpha + h)^2 }} \le \frac{1}{2} }$

αρκεί $\displaystyle{ 4\alpha h \le (\alpha + h)^2 }$

αρκεί $\displaystyle{ 4\alpha h \le \alpha ^2 + 2\alpha h + h^2 }$

αρκεί $\displaystyle{ \alpha ^2 - 2\alpha h + h^2 \ge 0 }$

αρκεί $\displaystyle{ (\alpha - h)^2 \ge 0 }$
που ισχύει.

ΣΧΟΛΙΟ
Θα είχε ενδιαφέρον να ψάχναμε την κατασκευή του τετραγώνου, και τις προϋποθέσεις να έχει το τετράγωνο μέγιστο εμβαδόν.

parmenides51 · #3

Για την κατασκευή εδώ και μια παρόμοια εδώ.

Christos.N · #4

Η ομοιότητα όμως είναι πέρα απο την διδακτέα της Α' Λυκείου, έχω προβληματιστεί αρκετά πως γίνεται να αντιμετωπιστεί χωρίς αυτήν.

Μίξη Άλγεβρας - Γεωμετρίας

Μίξη Άλγεβρας - Γεωμετρίας

Re: Μίξη Άλγεβρας - Γεωμετρίας

Re: Μίξη Άλγεβρας - Γεωμετρίας

Re: Μίξη Άλγεβρας - Γεωμετρίας

Μέλη σε σύνδεση