Συγκρισούλα 7

KARKAR · #1

Να συγκριθούν οι αριθμοί : $\displaystyle A=\frac{1}{1000}+\frac{1}{1002}+\frac{1}{1006}$ , και $\displaystyle B=\frac{1}{1001}+\frac{1}{1003}+\frac{1}{1004}$

#2

Η διαφορά τους ισούται με

$A-B=\frac{1}{1000}-\frac{1}{1001}+\frac{1}{1005}-\frac{1}{1004}+\frac{1}{1002}-\frac{1}{1003}+\frac{1}{1006}-\frac{1}{1005}=$

$\frac{1}{1000\cdot 1001}-\frac{1}{1004\cdot 1005}+\frac{1}{1002\cdot 1003}-\frac{1}{1005\cdot 1006}>0+0$

Άρα ο πρώτος είναι μεγαλύτερος: A>B

KARKAR · #3

Για τους διαφορετικούς θετικούς a , b

ισχύει : $\displaystyle\frac{1}{a}+\frac{1}{b}>\frac{4}{a+b}$ ,

αφού : $\displaystyle\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}>\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow (a+b)^{2}>4ab$ , που ισχύει .

Συνεπώς : $\displaystyle\frac{1}{1000}+\frac{1}{1002}>\frac{4}{1000+1002}=\frac{2}{1001}$ , ομοίως : $\displaystyle\frac{1}{1000}+\frac{1}{1006}>\frac{2}{1003}$ και $\displaystyle\frac{1}{1002}+\frac{1}{1006}>\frac{2}{1004}$

Προσθέτοντας κατά μέλη : $\displaystyle2(\frac{1}{1000}+\frac{1}{1002}+\frac{1}{1006})>\frac{2}{1001}+\frac{2}{1003}+\frac{2}{1004}$

και διαιρώντας δια

προκύπτει : $\displaystyle\frac{1}{1000}+\frac{1}{1002}+\frac{1}{1006}>\frac{1}{1001}+\frac{1}{1003}+\frac{1}{1004}$

Συγκρισούλα 7

Συγκρισούλα 7

Re: Συγκρισούλα 7

Re: Συγκρισούλα 7

Μέλη σε σύνδεση