Απορία...

chrislg · #1

Ισχύει για θετικούς ακεραίους a,b,p

:

${({a}^{p}+{b}^{p})}^{\frac{1}{p}}>{({a}^{p+1}+{b}^{p+1})}^{\frac{1}{p+1}}$ ???

#2

Ναί, ισχύει. Θεώρησε ότι $a\leq b$ (δεν βλάπτει την γενικότητα), διαίρεσε τα μέλη με $b^{p(p+1)},$ και εύκολα θα καταλήξεις σε αληθή ανισότητα.

(Αν δεν τα καταφέρεις, θα γράψω αναλυτικά την λύση)

chrislg · #3

γράψτο αναλυτικά καλύτερα ...

#4

Ας το δούμε και αναλυτικά.

Υποθέτουμε $a\leq b\Leftrightarrow \frac{a}{b}\leq 1$ και αν θέσουμε $\frac{a}{b}=k,$ τότε έχουμε ότι $k\leq 1$ .

Η ζητούμενη σχέση, ισοδύναμα γράφεται:

$(a^{p}+b^{p})^{p+1}>(a^{p+1}+b^{p+1})^{p}\Leftrightarrow$

$\frac{(a^{p}+b^{p})^{p+1}}{b^{p(p+1)}}>\frac{(a^{p+1}+b^{p+1})^{p}}{b^{p(p+1)}}$ \displaystyle{\Leftrightarrow \left[(\frac{a}{b})^{p}+1 \right]^{p+1}>\left[\left(\frac{a}{b} \right)^{p+1}+1 \right]^{p}\Leftrightarrow

(k^{p}+1)^{p+1}>(k^{p+1}+1)^{p}\Leftrightarrow} $\frac{(k^{p}+1)^{p+1}}{(k^{p+1}+1)^{p}}>1$ \displaystyle{\Leftrightarrow \left(\frac{k^{p}+1}{1+k^{p+1}} \right)^{p}>\frac{1}{1+k^{p}} Όμως

k\leq 1\Leftrightarrow k^{p}k\leq k^{p}\Leftrightarrow 1+k^{p}\geq 1+k^{p+1}\Leftrightarrow

\frac{1+k^{p}}{1+k^{p+1}}\geq 1\Leftrightarrow \left(\frac{1+k^{p}}{1+k^{p+1}} \right)^{p-1}\geq 1\Leftrightarrow} $\left(\frac{1+k^{p}}{1+k^{p+1}} \right)^{p}\geq \frac{1+k^{p}}{1+k^{p+1}}$

Άρα αρκεί να αποδείξουμε ότι

$\frac{1+k^{p}}{1+k^{p+1}}>\frac{1}{1+k^{p}}\Leftrightarrow$ $(1+k^{p})^{2}>1+k^{p+1}\Leftrightarrow k^{2p}+k^{p+1}>0$

πράγμα, που αληθεύει

chrislg · #5

Απορία ...
Αν έχω μια ανισότητα με τις μεταβλητές a,b,x,y,z

που παρουσιάζει συμμετρία ως προς τις μεταβλητές x,y,z

μπορώ να θεωρήσω x>=y>=z

KARKAR · #6

Γενικότερα για τους θετικούς a ,b , p , q

με

, ισχύει : $\displaystyle (a^{p}+b^{p})^{\frac{1}{p}}>(a^{q}+b^{q})^{\frac{1}{q}}$ .

Πράγματι αν a=b

το ζητούμενο είναι προφανές . Αν a< b

έχουμε :

$\displaystyle\left( \frac{a}{b}\right)^p>\left( \frac{a}{b}\right)^q\Rightarrow 1+\left( \frac{a}{b}\right)^p>1+\left( \frac{a}{b}\right)^q$ $\displaystyle\Rightarrow \left( 1+\left( \frac{a}{b}\right)^p\right)^{\frac{1}{q}\right)> \left( 1+\left( \frac{a}{b}\right)^q\right)^{\frac{1}{q}$

αλλά $\displaystyle\frac{1}{p}>\frac{1}{q}\Rightarrow \left(1+\left(\frac{a}{b} \right)^p \right)^{\frac{1}{p}\right) >\left(1+\left(\frac{a}{b} \right)^{p} \right)^{\frac{1}{q}\right)> \left(1+\left(\frac{a}{b} \right)^{q} \right)^{\frac{1}{q}$

δηλαδή : $\displaystyle\left(\frac{a^{p}+b^{p}}{b^{p}} \right)^{\frac{1}{p} \right)>\left(\frac{a^{q}+b^{q}}{b^{q}} \right)^{\frac{1}{q} \right)\Rightarrow(a^{p}+b^{p})^{\frac{1}{p}}>(a^{q}+b^{q})^{\frac{1}{q}}$

#7

chrislg έγραψε:Απορία ...
Αν έχω μια ανισότητα με τις μεταβλητές που παρουσιάζει συμμετρία ως προς τις μεταβλητές μπορώ να θεωρήσω

Ναι, είναι σωστό αυτό που λες.

KARKAR · #8

Ιδού και το παράδειγμα ...

Απορία...

Απορία...

Re: Απορία...

Re: Απορία...

Re: Απορία...

Re: Απορία...

Re: Απορία...

Re: Απορία...

Re: Απορία...

Μέλη σε σύνδεση