Περιπτωσιολογία

KARKAR · #1

Έχετε υπομονή ; Αν ναι , τότε λύστε την ανίσωση : $ax^{2}+(a+1)|x|+a>0$ , $a \in \mathbb{R}$

Γιώργος Απόκης · #2

Έστω (1) η ανίσωση ax^2+(a+1)|x|+a>0

A) $\color{red}\boxed{A\nu\; a=0}\color{black}$ Έχω $|x|>0 \Leftrightarrow x\ne 0$ .

B) $\color{red}\boxed{A\nu\; a>0}\color{black}$

I) $\boxed{A\nu\; x\geq 0}$ Έχω ax^2+(a+1)x+a>0

με $\Delta=(a+1)^2-4a^2=(a+1+2a)(a+1-2a)=(3a+1)(1-a)$

α) $\boxed{A\nu\; \Delta<0}\overset{a>0} \Leftrightarrow a>1$ η (1) ισχύει για κάθε $x \geq 0$ .

β) $\boxed{A\nu\; \Delta=0}\overset{a>0} \Leftrightarrow a=1$ η (1) γίνεται x^2+2x+1>0

που ισχύει για κάθε $x \geq 0$ .

γ) $\boxed{A\nu\; \Delta>0}\overset{a>0} \Leftrightarrow 0<a<1$ έχουμε $\displaystyle{x_{1,2}=\frac{-(a+1)\pm \sqrt{\Delta}}{2a}<0}$ για a>0

και η (1) ισχύει για κάθε $x \geq 0$ .

II) $\boxed{A\nu\; x< 0}$ Έχω ax^2-(a+1)x+a>0

με $\Delta=(3a+1)(1-a)$

α) $\boxed{A\nu\; \Delta<0}\overset{a>0} \Leftrightarrow a>1$ η (1) ισχύει για κάθε x<0

.

β) $\boxed{A\nu\; \Delta=0}\overset{a>0} \Leftrightarrow a=1$ η (1) γίνεται x^2-2x+1>0

που ισχύει για κάθε x< 0

.

γ) $\boxed{A\nu\; \Delta>0}\overset{a>0} \Leftrightarrow 0<a<1$ έχουμε $\displaystyle{x_{1,2}=\frac{a+1\pm \sqrt{\Delta}}{2a}>0}$ για a>0

και η (1) ισχύει για κάθε x<0

.

Γ) $\color{red}\boxed{A\nu\; a<0}\color{black}$

I) $\boxed{A\nu\; x\geq 0}$ Έχω ax^2+(a+1)x+a>0

με $\Delta=(3a+1)(1-a)$

α) $\boxed{A\nu\; \Delta<0}\overset{a<0} \Leftrightarrow a<-\frac{1}{3}$ η (1) είναι αδύνατη.

β) $\boxed{A\nu\; \Delta=0}\overset{a<0} \Leftrightarrow a=-\frac{1}{3}$ η (1) γίνεται $-\frac{1}{3}x^2+\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}>0\Leftrightarrow x^2-2x+1<0$ (αδύνατη).

γ) $\boxed{A\nu\; \Delta>0}\overset{a<0} \Leftrightarrow -\frac{1}{3}<a<0$ έχουμε $\displaystyle{x_{1,2}=\frac{-(a+1)\pm \sqrt{\Delta}}{2a}>0}$ για a<0

και η (1) ισχύει για κάθε $\displaystyle{x\in \left(\frac{-(a+1)+\sqrt{\Delta}}{2a},\frac{-(a+1)-\sqrt{\Delta}}{2a}\right)}$ .

II) $\boxed{A\nu\; x< 0}$ Έχω ax^2-(a+1)x+a>0

με $\Delta=(3a+1)(1-a)$

α) $\boxed{A\nu\; \Delta<0}\overset{a<0} \Leftrightarrow a<-\frac{1}{3}$ η (1) είναι αδύνατη.

β) $\boxed{A\nu\; \Delta=0}\overset{a<0} \Leftrightarrow a=-\frac{1}{3}$ η (1) γίνεται $-\frac{1}{3}x^2-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}>0\Leftrightarrow x^2+2x+1<0$ (αδύνατη).

γ) $\boxed{A\nu\; \Delta>0}\overset{a<0} \Leftrightarrow -\frac{1}{3}<a<0$ έχουμε $\displaystyle{x_{1,2}=\frac{a+1\pm \sqrt{\Delta}}{2a}<0}$ για a<0

και η (1) ισχύει για κάθε $\displaystyle{x\in \left(\frac{a+1+\sqrt{\Delta}}{2a},\frac{a+1-\sqrt{\Delta}}{2a}\right)}$ .

Ουφ!

Θα ήθελα να "μαζέψω" τις περιπτώσεις αλλά δε μπορώ να πληκτρολογήσω από το φορείο!

#3

KARKAR έγραψε:Έχετε υπομονή ; Αν ναι , τότε λύστε την ανίσωση : $ax^{2}+(a+1)|x|+a>0$ , $a \in \mathbb{R}$

Χμμμ. Στην παραπάνω λύση χανόμαστε στις περιπτώσεις και δεν βλέπουμε τι γίνεται (άσε που νομίζω - μπορεί να κάνω λάθος- ότι η λύση είναι ελλειπής).
Ας μου επιτραπεί να σκιαγραφίσω μία μέθοδο που συμμαζεύει κάπως τα πράγματα. Το κάνω για να μην αποκομίζουν οι μαθητές την εντύπωση ότι τα Μαθηματικά είναι ανιαρά.

Έχουμε:

α) Αν a=0

τότε η ανίσωση γίνεται |x|>0

, που είναι άμεση (συγκεκριμένα, $x\ne 0$ ).

β) Αν a>0

. Τότε είναι προφανές ότι το αριστερό μέλος είναι γνήσια θετικό (άθροισμα θετικών) οπότε η ανίσωση επαληθεύεται για κάθε $x\in \mathbb R$
(Σημειώνω ότι η μία αυτή γραμμή αντικαθιστά 9 περιπτώσεις παραπάνω).

γ) Αν a<0

, διαιρούμε με το

και η ανίσωση γράφεται $|x|^2 + \frac {a+1}{a}|x| + 1<0$ . Θα μας χρειαστεί η διακρίνουσα, η οποία είναι $\frac{(3a+1)(1-a)}{a^2}$ . Παρατηρούμε ότι οι όροι 1-a

και

είναι θετικοί ούτως ή άλλως. Άρα η δαικρίνουσα είναι π.χ. $\le 0$ αν και μόνον αν $3a+1\le 0$ , που σημαίνει $\displaystyle a \le-\frac {1}{3}$ . Στη περίπτωση αυτή, επειδή ο συντελεστής του |x|^2

είναι θετικός, το τριώνυμο είναι $\ge 0$ , δηλαδή δεν υπάρχουν λύσεις.
Τέλος, μένει η περίπτωση $\displaystyle -\frac {1}{3} <a <0$ . H λύση είναι για |x|

μεταξύ των ριζών. Αφήνω τις λεπτομέρειες απλά σημειώνω ότι γλυτώνουμε κόπο αν παρατηρήσουμε ότι οι ρίζες του τριωνύμου είναι ομόσημες (γινόμενο = 1), οπότε μας ενδιαφέρει πότε το άθροισμά τους είναι θετικό ή μη. Αυτό είναι απλό γιατί ανάγεται στο $-\frac{a+1}{a}>0$ , αλλά αφού a<0

, ισοδυναμεί με a+1>0

. Και λοιπά.

Φιλικά,

Μιχάλης

Περιπτωσιολογία

Περιπτωσιολογία

Re: Περιπτωσιολογία

Re: Περιπτωσιολογία

Μέλη σε σύνδεση