ΣΥΣΤΗΜΑ

polysindos · #1

Να λυθεί το σύστημα
$ax^{3}+by^{3}=14$
$ax^{2}+by^{2}=5$
ax+by=2

#2

Το σύστημα γίνεται:
$\begin{matrix} b=1-a\\ ax+(1-a)y=2\\ ax^2+(1-a)y^2=5\\ ax^3+(1-a)y^3=14 \end{matrix}$ $\Rightarrow$ $\begin{matrix} b=1-a\\ a(x-y)+y=2\\ a(x-y)(x+y)+y^2=5\\ a(x-y)(x^2+xy+y^2)+y^3=14 \end{matrix}$ $\Rightarrow$ $\begin{matrix} b=1-a\\ a(x-y)=2-y\\ (2-y)(x+y)+y^2=5\\ (2-y)(x^2+xy+y^2)+y^3=14 \end{matrix}$ $\Rightarrow$

#3

Συνεχίζω γιατί το Σύστημα με πετάει έξω.
$\begin{matrix} b=1-a\\ a(x-y)=2-y\\ 2(x+y)-xy=5\\ x^2+y^2+(x+y)^2-xy(x+y)=14 \end{matrix}$ $\Rightarrow$ $\begin{matrix} b=1-a\\ a(x-y)=2-y\\ xy=2(x+y)-5\\ (x+y)=4 \end{matrix}$ $\Rightarrow$ $\begin{matrix} b=1-a\\ a(x-y)=2-y\\ xy=3\\ (x+y)=4 \end{matrix}$ $\Rightarrow$ $a=b=\frac{1}{2}$ και (x,y)=(1,3)

ή $a=b=\frac{1}{2}$ και (x,y)=(3,1)

Χρήστος

Νικος Αντωνόπουλος · #4

Μια, λίγο διαφορετική αντιμετώπιση
Είναι:
$(a{{x}^{2}}+b{{y}^{2}})(x+y)=a{{x}^{3}}+b{{y}^{3}}+a{{x}^{2}}y+bx{{y}^{2}}{\Rightarrow 5(x+y)=14+xy(ax+by)}{\Rightarrow 5(x+y)-2xy=14}$ (1)
και
$(ax+by)(x+y)=a{{x}^{2}}+b{{y}^{2}}+axy+bxy{\Rightarrow 2(x+y)=5+xy}{\Rightarrow 2(x+y)-xy=5$ (2)
Αν θέσουμε x+y=s και xy=p, στις εξισώσεις (1) και (2) εύκολα βρίσκουμε ότι s=4 και p=3 και κατόπιν λύνοντας την ${{t}^{2}}-4t+3=0$ βρίσκουμε ότι x=3

και

ή

και

Η αντικατάσταση στις αρχικές δίνει τελικά $a=b=\frac{1}{2}$ και (x,y)=(3,1)

ή $a=b=\frac{1}{2}$ και (x,y)=(1,3).

polysindos · #5

Ο κλασικός τρόπος λύσης

ΣΥΣΤΗΜΑ

ΣΥΣΤΗΜΑ

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ

Μέλη σε σύνδεση