Άθροισμα με 2012 όρους !

#1

Δίνονται οι αριθμοί :

a = 1^2+2^2+3^2+...+ 2012^2

και $b=1\cdot 3+ 2\cdot 4+3\cdot 5+...+2011\cdot 2013 +2012$

Να βρεθεί η τιμή της παράστασης : b-a

Μπάμπης

irakleios · #2

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Δίνονται οι αριθμοί :

και $b=1\cdot 3+ 2\cdot 4+3\cdot 5+...+2011\cdot 2013 +2012$

Να βρεθεί η τιμή της παράστασης :

Μπάμπης

$b-a = 1\cdot2 +2\cdot2 + 3\cdot2 + ...+2011\cdot2 + 2012\cdot(-2011)=2(1+2+3+...+2011)-2011\cdot2012$

τώρα $1 + 2 + 3 + ...+2011 = \frac{2011\cdot2012}{2}$ έτσι

$b-a = 2\cdot\frac{2011\cdot2012}{2}-2001\cdot2012 = 2011\cdot2012 - 2011\cdot2012 = 0$

#3

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Δίνονται οι αριθμοί :

και $b=1\cdot 3+ 2\cdot 4+3\cdot 5+...+2011\cdot 2013 +2012$

Να βρεθεί η τιμή της παράστασης :

Μπάμπης

$b=1\cdot 3+ 2\cdot 4+3\cdot 5+...+2011\cdot 2013 +2012\Rightarrow$

$\displaystyle{b=(2-1)(2+1)+(3-1)(3+1)+\dots+(2012-1)(2012+1)+2012\Rightarrow}$

$\displaystyle{b=(2^2+3^2+\dots+2012^2)-2011+2012\Rightarrow b=(a-1)+1\Rightarrow b=a\Rightarrow b-a=0}$

Χρήστος Λαζαρίδης · #4

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Δίνονται οι αριθμοί :

και $b=1\cdot 3+ 2\cdot 4+3\cdot 5+...+2011\cdot 2013 +2012$

Να βρεθεί η τιμή της παράστασης :

Μπάμπης

Μία λύση, όχι καλύτερη των προηγουμένων.

$\displaystyle{a(a + 2) + 1 = \left( {a + 1} \right)^2}$

Η ταυτότητα για $\displaystyle{a = 1,2,3,...,2011}$ , δίνει:

$\displaystyle{ \begin{array}{l} 1 \cdot 3+1 = 2^2 \\ 2 \cdot 4 +1= 3^2 \\ 3 \cdot 5 +1= 4^2 \\ \\ 2011 \cdot 2013+1 = 2012^2 \\ 2012 = 2012 \\ \end{array} }$

Με πρόσθεση κατά μέλη: $\displaystyle{ b + 2011 = a - 1 + 2012 \Rightarrow b = a }$ $\displaystyle{ \Rightarrow b - a = 0 }$

Φιλικά Χρήστος

Άθροισμα με 2012 όρους !

Άθροισμα με 2012 όρους !

Re: Άθροισμα με 1012 όρους !

Re: Άθροισμα με 1012 όρους !

Re: Άθροισμα με 1012 όρους !

Μέλη σε σύνδεση