8Α-Σύνολα

Α.Κυριακόπουλος · #1

Να γράψετε υπό μορφή διαστήματος του $\mathbb R$ κάθε ένα από τα σύνολα:

$\displaystyle{\begin{array}{l} {\rm A} = \left\{ {x \in \mathbb R|\Upsilon \pi \dot \alpha \rho \chi \varepsilon \iota \,\, {\rm{ }}\nu \in {{\rm N}^ * },\,x \le \frac{1}{\nu }} \right\} \\ \\ {\rm B} = \left\{ {x \in \mathbb R|\Gamma \iota \alpha\,\, {\rm{ }}\kappa \dot \alpha \theta \varepsilon \,\, {\rm{ }}\nu \in {{\rm N}^ * },\,x \le \frac{1}{\nu }} \right\} \\ \end{array}}$

kostas136 · #2

Κάποιες παρατηρήσεις που ρίχνουν φώς για την απάντηση. Και για τα δύο σύνολα επιτρέπονται οι αρνητικοί πραγματικοί αφού $\displaystyle \frac{1}{n}>0, \forall n\in N.$
Επίσης και για τα δύο σύνολα δεν μπορούμε να επιτρέψουμε τους αριθμούς μεγαλύτερους της μονάδας διότι:
$\displaystyle \forall n\in N: n\geq 1\Rightarrow \frac{1}{n}\leq 1$
Τώρα για το πρώτο διάστημα μπορούμε να επιτρέψουμε και τους $\displaystyle 0\leq x\leq 1$ αφού τότε αρκεί ως $\displaystyle n\in N$ να θεωρήσουμε την μονάδα.
Άρα $\displaystyle A=(-\infty, 1].$
Αλλά για το δεύτερο διάστημα δεν μπορούμε να επιτρέψουμε τους $\displaystyle 0<x\leq 1$ διότι τότε θα υπάρχει ένας φυσικός, ο $\displaystyle n=[\frac{1}{x}]+1$ για τον οποίο θα ισχύει:
$\displaystyle \frac{1}{n}<x$ αφού $\displaystyle \frac{1}{[\frac{1}{x}]+1}<x\Leftrightarrow \frac{1}{x}<[\frac{1}{x}]+1.$
Άρα $\displaystyle B=(-\infty, 0].$

Α.Κυριακόπουλος · #3

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Να γράψετε υπό μορφή διαστήματος του $\mathbb R$ κάθε ένα από τα σύνολα:

$\displaystyle{\begin{array}{l} {\rm A} = \left\{ {x \in \mathbb R|\Upsilon \pi \dot \alpha \rho \chi \varepsilon \iota \,\, {\rm{ }}\nu \in {{\rm N}^ * },\,x \le \frac{1}{\nu }} \right\} \\ \\ {\rm B} = \left\{ {x \in \mathbb R|\Gamma \iota \alpha\,\, {\rm{ }}\kappa \dot \alpha \theta \varepsilon \,\, {\rm{ }}\nu \in {{\rm N}^ * },\,x \le \frac{1}{\nu }} \right\} \\ \end{array}}$

ΛΥΣΗ.
1) • Έστω ότι $x \in {\rm A}$ . Τότε $x \in R$ και υπάρχει $\nu \in {{\rm N}^ * }$ με $x \le \frac{1}{\nu }$ . Και επειδή $\frac{1}{\nu } \le 1$ , έπεται ότι $x \le 1$ και συνεπώς $x \in \left( { - \infty ,1} \right]$ . Άρα: ${\rm A} \subseteq \left( { - \infty .1} \right]$ (1).
• Έστω ότι $x \in \left( { - \infty ,1} \right]$ . Τότε $x \le 1$ . Έτσι, τότε, υπάρχει $\nu \in {{\rm N}^ * }$ με $x \le \frac{1}{\nu }$ (το $\nu = 1$ ) και συνεπώς $x \in {\rm A}$ . Άρα $\left( { - \infty .1} \right] \subseteq {\rm A}$ (2).
--Από τις (1) και (2) έπεται ότι: ${\rm A} = \left( { - \infty .1} \right]$ .
2) • Έστω ότι $x \in {\rm A}$ Τότε $x \in R$ και για κάθε $\nu \in {{\rm N}^ * }$ ισχύει $x \le \frac{1}{\nu }$ . Έτσι, αν x > 0

, θα είχαμε $\nu \le \frac{1}{x}$ , για κάθε $\nu \in {{\rm N}^ * }$ , άτοπο ( γιατί δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός που να είναι μεγαλύτερος όλων των φυσικών αριθμών). Άρα $x \le 0$ και συνεπώς $x \in \left( { - \infty ,0} \right]$ .
Άρα: ${\rm A} \subseteq \left( { - \infty .0} \right]$ (3).
• Έστω ότι $x \in \left( { - \infty ,0} \right]$ . Τότε $x \le 0$ . Έτσι, τότε, για κάθε $\nu \in {{\rm N}^ * }$ έχουμε: $x \le 0 < \frac{1}{\nu }$ και συνεπώς $x \le \frac{1}{\nu }$ , οπότε $x \in {\rm A}$
Άρα $\left( { - \infty .0} \right] \subseteq {\rm A}$ (4)
--Από τις (3) και (4) έπεται ότι ${\rm A} = \left( { - \infty .0} \right]$ .
ΣΧΟΛΙΟ .Η άσκηση είναι πολύ απλή στο μαθηματικό της μέρος. Η δυσκολία της συνίσταται στη λογική διαδικασία της λύσης. Αλλά από μικροί οι μαθητές πρέπει να κατανοήσουν και να μάθουν να χειρίζονται τις έννοιες ( ποσοδείκτες) : «υπάρχει» και « για κάθε». Οι έννοιες αυτές, όπως είναι γνωστό, είναι κυρίαρχες σε όλα ανεξαιρέτως τα μαθηματικά . Ξέρω ότι είναι δύσκολο ένας μαθητής να την λύσει. Όμως αμφιβάλλει κανένας ότι διαβάζοντας ένας μαθητής την (σωστή, αναλυτική, κατανοητή) λύση έχει να κερδίσει πολλά; (από τη λύση, εκτός των άλλων, του δίνεται ευκαιρία να μάθει ότι το σύνολο των φυσικών αριθμών δεν είναι άνω φραγμένο, κάτι που ίσως το διαισθανόταν). Πιστεύω ότι αυτός είναι ένας καλός τρόπος για να διδάξουμε στους μαθητές τις διάφορες θεμελιώδεις έννοιας των μαθηματικών.

Atemlos · #4

Πολύ όμορφο και διδακτικό το θέμα κ.Αντώνη.

8Α-Σύνολα

8Α-Σύνολα

Re: 8Α-Σύνολα

Re: 8Α-Σύνολα

Re: 8Α-Σύνολα

Μέλη σε σύνδεση