9 Α- Λογική, Άλγεβρα.

Α.Κυριακόπουλος · #1

Οι αριθμοί x,y

και $\alpha$ είναι πραγματικοί και η πρόταση:
( $x \ge 0 \Rightarrow y < 0$ ) ή ( $x + y < 1 \Rightarrow \alpha > x + \alpha y$ )
είναι ψευδής. Να αποδείξετε ότι: $x + y \ge \alpha$ .

#2

Αντώνη, έτσι όπως είναι τώρα είναι λανθασμένη. (Π.χ. $x=y=0,\alpha = 1$ .) Μάλλον ήθελες να γράψεις

Οι αριθμοί x,y

και $\alpha$ είναι πραγματικοί και η πρόταση:
( $x \ge 0 \Rightarrow y < 0$ ) ή ( $x + y < 1 \Rightarrow \alpha > x + \alpha y$ )
είναι ψευδής. Να αποδείξετε ότι: $x + y \ge \alpha$ .

Α.Κυριακόπουλος · #3

Demetres έγραψε:Αντώνη, έτσι όπως είναι τώρα είναι λανθασμένη. (Π.χ. $x=y=0,\alpha = 1$ .) Μάλλον ήθελες να γράψεις

Οι αριθμοί και $\alpha$ είναι πραγματικοί και η πρόταση:
( $x \ge 0 \Rightarrow y < 0$ ) ή ( $x + y < 1 \Rightarrow \alpha > x + \alpha y$ )
είναι ψευδής. Να αποδείξετε ότι: $x + y \ge \alpha$ .

Δημήτρη, έχεις απόλυτο δίκιο. Το διόρθωσα. Σε ευχαριστώ πολύ.

S.E.Louridas · #4

Μία διαπραγμάτευση.
Δεχόμαστε σε ισχύ την άρνηση της πρότασης που δίνεται σαν ψευδής, συγγεκριμμένα:

$\begin{array}{*{20}c} {\overline {[\left( {x \geqslant 0 \Rightarrow y < 0} \right)\dot \eta \left( {x + y < 1 \Rightarrow a > x + ay} \right)]} \Leftrightarrow \overline {\left( {x \geqslant 0 \Rightarrow y < 0} \right)} \;\kappa \alpha i\;\overline {\left( {x + y < 1 \Rightarrow a > x + ay} \right)} \Leftrightarrow } \\ {\left( {\left( {x \geqslant 0\;\kappa \alpha i\;y \geqslant 0} \right)\;\kappa \alpha i\;\left( {x + y < 1\;\kappa \alpha i\;a \leqslant x + ay} \right)} \right).} \\ \end{array}$

${\rm A}\nu ,\;x \geqslant 1\;\dot \eta \;y \geqslant 1 \Rightarrow x + y \geqslant 1,\;\dot \alpha \tau o\pi o\;o\pi \dot o\tau \varepsilon \,0 \leqslant x,y < 1.$
Αν $a \leqslant 0,$ τότε προφανώς έχουμε: $a \leqslant x + y.$
Αν
$a > 0\;\kappa \alpha \dot \iota \;\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {0 \leqslant x + y < 1} \\ {a \leqslant x + ay} \\ \end{array} } \right. \Rightarrow a + y < 1 + ay \Rightarrow 0 \leqslant \left( {a - 1} \right)\left( {y - 1} \right) \Rightarrow 0 < a < 1.$
Θέλουμε την ισχύ της ανισότητας
$x + y \geqslant a,\;\alpha \rho \kappa \varepsilon \dot \iota \;x + y \geqslant x + ay \Leftrightarrow y\left( {1 - a} \right) \geqslant 0,$
που ισχύει.

S.E.Louridas

#5

Και λίγο διαφορετικά:

Είναι γνωστό πως :
$\bullet$ Για να είναι η διάζευξη(η απλή κι όχι η αποκλειστική) των προτάσεων:
$\displaystyle p:(x\geq 0\Rightarrow y<0)$ και $\displaystyle q:(x+y<1\Rightarrow a>x+ay)$
ψευδής πρόταση θα πρέπει και οι δύο συνιστώσες προτάσεις να είναι ψευδείς.
ακόμα:
$\bullet$ Για να είναι μια συνεπαγωγή:
$\displaysyle q\Rightarrow r$
ψευδής πρόταση θα πρέπει η πρώτη να είναι αληθής και η δεύτερη ψευδής.

Ύστερα απ΄αυτά προκύπτουν ως αληθείς οι προτάσεις: $\displaysyle \left\{\begin{matrix} x\geq 0 \ \ (1)\\ y\geq 0 \ \ (2) \\x+y<1 \ \ (3) \\ a\leq x+ay \ \ (4) \end{matrix}\right.$

Από την (4) προκύπτει: $\displaystyle{a-ay \leq x} \ \ (5)$
κι από την (3): $\displaystyle{1-y>0} \ \ (6)$

Η (5) σύμφωνα με την (4) γίνεται:
$\displaystyle{a\leq \frac{x}{1-y}} \ \ (7)$

Τελικά επειδή ζητούμε την αλήθεια της $\displaystyle{x+y \geq a} \ \ [*]$
άρα λόγω της (7) αρκεί να δείξουμε ότι:
$\displaysyle x+y\geq \frac{x}{1-y} \ \ (8)$

Ακόμα:
$\displaysyle (8)\Leftrightarrow \cancel{x}-xy+y-y^2\geq \cancel{x}\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow y^2+xy-y\leq 0\\\Leftrightarrow y(x+y-1)\leq 0$

Η τελευταία όμως ισχύει λόγω της αλήθειας των (2) και (3). Άρα η ζητούμενη [*] είναι αληθής.

Κώστας Δόρτσιος

#6

S.E.Louridas έγραψε:
$\begin{array}{*{20}c} {\overline {[\left( {x \geqslant 0 \Rightarrow y < 0} \right)\dot \eta \left( {x + y < 1 \Rightarrow a > x + ay} \right)]} \Leftrightarrow \overline {\left( {x \geqslant 0 \Rightarrow y < 0} \right)} \;\kappa \alpha i\;\overline {\left( {x + y < 1 \Rightarrow a > x + ay} \right)} \Leftrightarrow } \\ {\left( {\left( {x \geqslant 0\;\kappa \alpha i\;y \geqslant 0} \right)\;\kappa \alpha i\;\left( {x + y < 1\;\kappa \alpha i\;a \leqslant x + ay} \right)} \right).} \\ \end{array}$

Επειδή νομίζω η δυσκολία της άσκησης είναι αυτό ακριβώς το κομμάτι γράφω κάποια επιπλέον λόγια προς όφελος των μαθητών μας:

Μας δίνεται ως δεδομένο ότι η πρόταση
$\displaystyle{ (x \geqslant 0 \Rightarrow y < 0)}$ ή $\displaystyle{ (x+y < 1 \Rightarrow \alpha > x + \alpha y)}$
είναι ψευδής.

Αυτή είναι μια πρόταση της μορφής (

ή

) και γνωρίζουμε από τους κανόνες της λογικής ότι είναι ψευδής αν και μόνο αν τόσο η πρόταση

όσο και η πρόταση

είναι ψευδής.

Επομένως ισοδύναμα έχουμε ότι οι προτάσεις
(Α) $x \geqslant 0 \Rightarrow y < 0$
(Β) $x+y < 1 \Rightarrow \alpha > x + \alpha y$

είναι και οι δύο ψευδείς.

Και οι δυο προτάσεις τώρα είναι της μορφής $C \Rightarrow D$ . Πάμε και πάλι στους κανόνες της λογικής. Πότε είναι μια τέτοια πρόταση ψευδής; Ο κανόνες λέει ότι είναι ψευδής αν και μόνο αν η πρόταση

είναι αληθής και η πρόταση

είναι ψευδής.

Επομένως ισοδύναμε καταλήγουμε ότι
$\bullet$ Η πρόταση $x \geqslant 0$ είναι αληθής.
$\bullet$ Η πρόταση y < 0

είναι ψευδής.
$\bullet$ Η πρόταση x+y < 1

είναι αληθής.
$\bullet$ Η πρόταση $\alpha > x + \alpha y$ είναι ψευδής.

Άρα η δοσμένη συνθήκη είναι ισοδύναμη με την συνθήκη ότι και οι τέσσερις πιο κάτω προτάσεις είναι αληθείς:
$\bullet$ $x \geqslant 0$
$\bullet$ $y \geqslant 0$
$\bullet$ x+y < 1

$\bullet$ $\alpha \leqslant x + \alpha y$

Όλα τα πιο πάνω περιέχονται φυσικά στις δυο γραμμές που έγραψε ο Σωτήρης. Χρειάζεται βέβαια κάποια εξάσκηση για να μπορείτε να το γράφετε έτσι απευθείας. Το βασικό είναι να κατανοήσετε τι ακριβώς λένε οι κανόνες της λογικής.

Από δω και πέρα νομίζω τα πράγματα είναι εύκολα και δεν χρειάζεται να επαναλάβω ότι έγραψε ο Σωτήρης.

Επεξεργασία: Από ότι βλέπω με πρόλαβε ο Κώστας. Τα αφήνω ότι έγραψα για τον κόπο μου.

S.E.Louridas · #7

Δημήτρη σε ευχαριστώ πολύ γιά την παρέμβαση σου, απλοποιώντας Επιστημονικά την ημέτερη διαπραγμάτευση.
Το ίδιο και τον Κώστα Δόρτσιο.

S.E.Louridas

#8

S.E.Louridas έγραψε:Δημήτρη σε ευχαριστώ πολύ γιά την παρέμβαση σου, απλοποιώντας Επιστημονικά την ημέτερη διαπραγμάτευση.
Το ίδιο και τον Κώστα Δόρτσιο.

S.E.Louridas

Σωτήρη, να ευχαριστήσουμε και τον Αντώνη!...

S.E.Louridas · #9

Κώστα, ο σεβασμός προς τον Άνθρωπο και Μαθηματικό Αντώνη Κυριακόπουλο είναι διαχρονικό και συνεχές αυτονόητο, τουλάχιστον για εμάς που συγχρωτιζόμαστε με αυτόν.
Τα θέματα που προτείνει είναι θέματα που έχουν πάντοτε Επιστημονικό, Μαθηματικό και όχι μόνο Στόχο.

S.E.Louridas

9 Α- Λογική, Άλγεβρα.

9 Α- Λογική, Άλγεβρα.

Re: 9 Α- Λογική, Άλγεβρα.

Re: 9 Α- Λογική, Άλγεβρα.

Re: 9 Α- Λογική, Άλγεβρα.

Re: 9 Α- Λογική, Άλγεβρα.

Re: 9 Α- Λογική, Άλγεβρα.

Re: 9 Α- Λογική, Άλγεβρα.

Re: 9 Α- Λογική, Άλγεβρα.

Re: 9 Α- Λογική, Άλγεβρα.

Μέλη σε σύνδεση