Βρείτε τους a, b

kostas136 · #1

Εξετάστε αν υπάρχουν μη μηδενικοί $a, b \in R$ που επαληθεύουν την παρακάτω:

$\displaystyle (a^2+b^2)^3=(a^3+b^3)^2$

Atemlos · #2

kostas136 · #3

Το ξέρω, είναι και άσκηση σε βιβλίο του Παπαδάκη και όμως πιστεύω ότι είναι λάθος, αυτό ήθελα να δείξω. Καταρχήν, είναι δυνατόν δύο αντίστροφοι αριθμοί να έχουν άθροισμα εντός του (-2,2)

;

Atemlos · #4

kostas136 έγραψε:Το ξέρω, είναι και άσκηση σε βιβλίο του Παπαδάκη και όμως πιστεύω ότι είναι λάθος, αυτό ήθελα να δείξω. Καταρχήν, είναι δυνατόν δύο αντίστροφοι αριθμοί να έχουν άθροισμα εντός του ;

Τώρα που την βλέπω εάν διαιρέσεις με το

και θέσεις x=a/b

παίρνω την (x^2+1)^3=(x^3+1)^2

με λύσεις από Wolfram εδώ.

kostas136 · #5

Ακριβώς. Πρέπει δηλαδή ένας από τους δύο να είναι μηδέν και για αυτό δεν ευσταθεί η απαίτηση στην άσκηση ηια την εύρεση του $\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{b}{a}$
Εξάλλου, αναπτύξτε, παραγοντοποιήστε και αναγκαστικά ένας από τους δύο θα είναι μηδέν.

Αρχιμήδης 6 · #6

Για να μην υπάρχει σύγχυση υπάρχουν 2 μέθοδοι να λυθεί η εξίσωση.
Ο πρώτος τρόπος είναι αυτός που βασίζεται στην παραγοντοποίηση και είναι πιο απλός για την περίπτωσή μας .
(x^2+y^2)^3=(x^3+y^3)^2

και ετά απο τις πράξεις θα έχουμε a^2b^2(3a^2+3b^2-2ab)=0

και δεδομένου ότι θέλουμε τις μη μηδενικές λύσεις θα πρέπει 3a^2+3b^2-2ab=0

οπότε

με μοναδική λύση πάλι το (0,0)

Ο δεύτερος τρόπος που ίσως προκάλεσε την σύγχυση είναι ο εξής :
Έστω ότι η εξίσωση έχει μη μηδενικές λύσεις (a,b)

τότε

οπότε πάλι μετά απο λίγες πράξεις θα πάρουμε.. 3a^4b^2+3a^2b^4=2a^3b^3

οπότε αφού (a.b)

μη μηδενικοί μπορούμε να διαιρέσουμε με τον παράγοντα a^3b^3

και η εξίσωση έρχεται στην μορφή $a^2b^2(a^2+b^2)/(ab)^{3}=2/3$ άρα a/b + b/a=2/3

Όμως δεν θα σταματήσουμε εδώ γιατί κάθε επίλυση πρέπει να τερματιστεί ...οι ενδιάμεσες προτάσεις είναι απλά υποθέσεις -αποτέλεσμα της αρχικής υπόθεσης <<έστω (a,b)

μη μηδενικοί >> και ίσως να είναι λάθος όπως και η ΄τελεύτάια εξίσωση που δεν έχει λύσεις . Λύνοντας λοιπόν την εξίσωση a/b + b/a=2/3

θα προκύψει η εξίσωση 3a^2+3b^2-2ab=0

,

άρα και πάλι a=b=0

και αυτό ακόμα και μετά την διαίρεση με τον παράγοντα (ab)^3

. Aν δεν κάναμε την αρχική υπόθεση ποτέ δεν θα καταλήγαμε στην εξίσωση a/b + b/a=2/3

γιατί δεν θα διαιρούσαμε με τον παράγοντα (ab)^3

.

Βρείτε τους a, b

Βρείτε τους a, b

Re: Βρείτε τους a, b

Re: Βρείτε τους a, b

Re: Βρείτε τους a, b

Re: Βρείτε τους a, b

Re: Βρείτε τους a, b

Μέλη σε σύνδεση