Ποτέ μικρότερο

KARKAR · #1

Για τους θετικούς a, b , c

, δείξτε ότι : $\displaystyle \left(a-b \right)^{2}+\left(b-c \right)^{2}\geq \frac{1}{2}\left(a-c \right)^{2}$ .

Πότε ισχύει το "="

;

#2

KARKAR έγραψε:Για τους θετικούς , δείξτε ότι : $\displaystyle \left(a-b \right)^{2}+\left(b-c \right)^{2}\geq \frac{1}{2}\left(a-c \right)^{2}$ .

Πότε ισχύει το ;

Η ανισότητα ισχύει για όλους τους πραγματικούς $\displaystyle{a,b,c.}$

Η προς απόδειξη ανισότητα γράφεται, μετά τις πράξεις, ως

$\displaystyle{a^2+4b^2+c^2-4ab-4bc+2ac\geq 0}$

και αυτό ισχύει, αφού είναι $\displaystyle{a^2+4b^2+c^2-4ab-4bc+2ac=(2b-a-c)^2.}$

Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν $\displaystyle{a+c=2b.}$

#3

Για τον μαθητή, ο οποίος δεν γνωρίζει την ταυτότητα

$\displaystyle{\boxed{(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}}$

(αν και νομίζω πως καλό είναι να την μάθει),

μπορούμε να πάμε και ως εξής:

Είναι (γιατί;) $\displaystyle{x^2+y^2\geq \frac{(x+y)^2}{2}}$ .

Θέτουμε $\displaystyle{x\to a-b, y \to b-c}$ και τελειώσαμε.

spiros filippas · #4

Αλλιώς:

Θέτουμε a-b=x~~b-c=y

καί η προς απόδειξη ανισότητα γράφεται:

$\displaystyle 2(x^2+y^2)\geq(x+y)^2$ πού προφανώς ισχύει ( π.χ C-S)

spiros filippas · #5

H απάντηση μου είναι ταυτίστηκε με του matha. Καθώς έγραφα δεν κατάλαβα ότι με είχε προλάβει!

Ποτέ μικρότερο

Ποτέ μικρότερο

Re: Ποτέ μικρότερο

Re: Ποτέ μικρότερο

Re: Ποτέ μικρότερο

Re: Ποτέ μικρότερο

Μέλη σε σύνδεση