Μικροδείχνει

KARKAR · #1

Αν : $x\in (0,1)$ , βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης : $A= \; \displaystyle\frac{x^2-x-2}{x^2-x}$

#2

Η παράσταση μπορεί να γραφτεί και ως:

$\displaystyle{ A = 1 - \frac{2}{{x^2 - x}} }$
Τώρα για το τριώνυμο $\displaystyle{ x^2 - x }$ αληθεύει $\displaystyle{ x^2 - x \ge - \frac{1}{4},\forall x \in \left( {0,1} \right) }$ με την ισότητα να αληθεύει αν και μόνον αν $\displaystyle{ x = \frac{1}{2} \in \left( {0,1} \right) }$
Tώρα:
$\displaystyle{ x^2 - x \ge - \frac{1}{4},\forall x \in \left( {0,1} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{x^2 - x < 0} \frac{1}{{x^2 - x}} \le - 4 \Rightarrow ...1 - \frac{2}{{x^2 - x}} \ge 9 \Rightarrow A \ge 9 }$
Επομένως η παράσταση έχει ελάχιστο το

αν και μόνον αν $\displaystyle{ x = \frac{1}{2} \in \left( {0,1} \right) }$

#3

KARKAR έγραψε:Αν : $x\in (0,1)$ , βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης : $A= \; \displaystyle\frac{x^2-x-2}{x^2-x}$

Είναι

$\displaystyle{A=\frac{2+y}{y}=1+\frac{2}{y},}$ όπου $\displaystyle{y=x-x^2\in \Big(0,\frac{1}{4}\Big],}$ με την $\displaystyle{x-x^2\leq \frac{1}{4}}$ να είναι συνέπεια της $\displaystyle{\Big(x-\frac{1}{2}\Big)^2\geq 0}$ .

Άρα, είναι $\displaystyle{A\geq 1+2\cdot 4=9}$ με την ισότητα να ισχύει όταν $\displaystyle{x=\frac{1}{2}.}$

Ιστοσελίδα · #4

$y = \dfrac{x^2-x-2}{x^2-x} \Leftrightarrow yx^2-yx = x^2-x-2 \Leftrightarrow (y-1)x^2-(y-1)x+2 = 0 \; (1)$

Αν y = 1

η

είναι αδύνατη.

Αν $y\neq 1$ η (1)

έχει πραγματικές ρίζες αν και μόνο αν

$\Delta \geq 0 \Leftrightarrow (y-1)^2-8(y-1) \geq 0 \Leftrightarrow (y-1)(y-9)\geq 0 \Leftrightarrow y<1$ ή $y\geq 9 \; (2) .$

Τότε $x = \dfrac{y-1\pm\sqrt{(y-1)(y-9)}}{2(y-1)} = \dfrac{1}{2}\pm \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{y-9}{y-1}}$

Είναι $0<x<1 \Leftrightarrow 0< \dfrac{1}{2}\pm \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{y-9}{y-1}} <1 \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} < \pm \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{y-9}{y-1}} < \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow$

$- 1 < \pm \sqrt{\dfrac{y-9}{y-1}} < 1 \Leftrightarrow \sqrt{\dfrac{y-9}{y-1}} < 1 \Leftrightarrow \dfrac{y-9}{y-1} < 1 \Leftrightarrow \dfrac{-8}{y-1} < 0 \Leftrightarrow$

$y-1 > 0 \Leftrightarrow y>1 \; (3).$

Από (2) , (3)

είναι $y\geq 9 .$

Είναι $y=9 \Leftrightarrow \dfrac{x^2-x-2}{x^2-x} = 9 \Leftrightarrow 4x^2-4x+1 = 0 \Leftrightarrow x=\frac{1}{2}.$

Μικροδείχνει

Μικροδείχνει

Re: Μικροδείχνει

Re: Μικροδείχνει

Re: Μικροδείχνει

Μέλη σε σύνδεση