Διπλή ανισότητα

KARKAR · #1

Αν για τους θετικούς : a , b

, ισχύει : a+b=2

, δείξτε ότι : $\displaystyle 2\leq a^2+b^2\leq \frac{2}{a^2b^2}$

#2

KARKAR έγραψε:Αν για τους θετικούς : , ισχύει : , δείξτε ότι : $\displaystyle 2\leq a^2+b^2\leq \frac{2}{a^2b^2}$

Αφού $\displaystyle{a,b>0}$ με $\displaystyle{a+b=2,}$ υπάρχει $\displaystyle{x\in (-1,1),}$ ώστε $\displaystyle{a=1+x,b=1-x.}$

Τότε, είναι

$\displaystyle{a^2+b^2=(1+x)^2+(1-x)^2=2+2x^2\geq 0}$

και

$\displaystyle{(ab)^2(a^2+b^2)=[(1+x)(1-x)]^2\Big[(1+x)^2+(1-x)^2\Big]=(1-x^2)^2(1+x^2+2x+1-2x+x^2)=}$

$\displaystyle{=2(1-x^2)^2(1+x^2)=2(1-x^4)(1-x^2)\leq 2,}$

αφού $\displaystyle{0<1-x^4<1}$ και $\displaystyle{0<1-x^2<1.}$

Ιστοσελίδα · #3

Η δευτεροβάθμια εξίσωση με ρίζες τους a , b

είναι

Είναι $\Delta\geq 0 \Leftrightarrow 4-4ab\geq 0 \Leftrightarrow 4\geq 4ab\Leftrightarrow ab\leq 1.$

$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab = 4-2ab = 2 + 2(1-ab)\geq 2 .$

Προκειμένου να αποδείξουμε ότι $a^2+b^2 \leq \dfrac{2}{a^2b^2}$ αρκεί να δείξουμε ότι $4-2ab \leq \dfrac{2}{a^2b^2}$

αρκεί $2-ab \leq \dfrac{1}{a^2b^2}$ αρκεί $2(ab)^2-(ab)^3 - 1 \leq 0$ αρκεί $(ab)^2(1-ab)-(1-ab)(1+ab) \leq 0$

αρκεί $(1-ab)[(ab)^2-(ab)-1] \leq 0 ,$ η οποία ισχύει αφού $1-ab\geq 0$ και

(ab)^2-(ab)-1 < 0

όταν $\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} < ab < \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ πράγμα που ισχύει επειδή $\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} < 0 < ab \leq 1 < \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} .$

Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν a=b=1.

sokratis lyras · #4

Για το 1ο σκέλος:

$\left( 1^2 +1^2 \right)\left( a^2+b^2 \right)\ge \left( a+b \right)^2$ και αφού $\left( a+b \right)^2=4$ το ζητούμενο έπειται.

minast1994 · #5

Καλησπέρα...
Παραθέτω μια λύση με χρήση εσωτερικού γινομένου...
για το αριστερό μέλος της ανισότητας εργαζόμαστε ως εξής...
θεωρώ τα διανύσματα $\vec{x}=(a,b),\vec{y}=(1,1)$
$\displaystyle{\left | cos(x) \right |\leq 1\Leftrightarrow \frac{\left | \vec{x}\vec{y} \right |}{\left | \vec{x} \left | \right |\vec{y}\right |}\leq 1\Leftrightarrow \left | a+b \right |\leq \sqrt{a^{2}+b^{2}}\sqrt{2}\Leftrightarrow (a+b)^{2}\leq 2a^{2}+2b^{2}\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}\geq 2}$

δείχνω και μια λύση για το αριστερό μέλος χρησιμοποιώντας γνώσεις α λυκείου...
$a^{2}+b^{2}=a^{2}+(2-a)^{2}=a^{2}+a^{2}-4a+4=2a^{2}-4a+4$
η παράσταση παρουσιάζει ελάχιστο το $s=\frac{-D}{4a}=\frac{4ac-b^{2}}{4a}=\frac{32-16}{8}=2\Rightarrow a^{2}+b^{2}\geq 2$

spiros filippas · #6

KARKAR έγραψε:Αν για τους θετικούς : , ισχύει : , δείξτε ότι : $\displaystyle 2\leq a^2+b^2\leq \frac{2}{a^2b^2}$

Η αριστερή είναι μια απλή εφαρμογή της C-S. Για τη δεξιά:

Είναι $\displaystyle ab\leq (\frac{a+b}{2})^2=1 ~~(1)$ . Επίσης λόγω της συνθήκης είναι: a^2+b^2=4-2ab

.

Θέτουμε ab=x

και θέλουμε να δείξουμε ότι:

$\displaystyle x^2(4-2x)\leq2\Leftrightarrow 2x^2-x^3\leq1\Leftrightarrow x^3-2x^2+1\geq0$ . Ομως, λόγω της (1) αρκεί να είναι:

$\displaystyle x^3-2x^2+x\geq0 \Leftrightarrow x(x^2-2x+1)=x(x-1)^2\geq 0$ πού προφανώς αληθεύει.

Διπλή ανισότητα

Διπλή ανισότητα

Re: Διπλή ανισότητα

Re: Διπλή ανισότητα

Re: Διπλή ανισότητα

Re: Διπλή ανισότητα

Re: Διπλή ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση