Φτάσαμε στα ... ακρότατα

KARKAR · #1

Αν για τους θετικούς x, y

είναι : $(y-2)\sqrt{x}+(x-2)\sqrt{y}+2\sqrt{xy}=4$ , βρείτε την ελάχιστη τιμή του x+y

Ιστοσελίδα · #2

$(y-2)\sqrt{x}+(x-2)\sqrt{y}+2\sqrt{xy} = 4 \Leftrightarrow$

$y\sqrt{x} - 2\sqrt{x} +x\sqrt{y} - 2\sqrt{y} + 2\sqrt{xy} - 4 = 0 \Leftrightarrow$

$\sqrt{x}\sqrt{y}(\sqrt{x} + \sqrt{y}) - 2(\sqrt{x} + \sqrt{y}) + 2(\sqrt{xy} - 2) = 0 \Leftrightarrow$

$(\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{xy} - 2) + 2(\sqrt{xy} - 2) = 0 \Leftrightarrow$

$(\sqrt{xy} - 2)(\sqrt{x} + \sqrt{y} + 2) = 0 \Leftrightarrow$

$\sqrt{xy} = 2 \Leftrightarrow$

$xy = 4 \Leftrightarrow$

$y = \dfrac{4}{x} \Leftrightarrow$

Είναι: $x+y = x + \dfrac{4}{x} \geq 2\sqrt{x\cdot\dfrac{4}{x}} = 4.$ Η ισότητα ισχύει για x=2=y.

Φτάσαμε στα ... ακρότατα

Φτάσαμε στα ... ακρότατα

Re: Φτάσαμε στα ... ακρότατα

Μέλη σε σύνδεση