Αναλογίες

Atemlos · #1

Εαν $\displaystyle{\frac{{a + \beta }}{{2a + \gamma }} = \frac{{\beta + \gamma }}{{2\beta + a}} = \frac{{\gamma + a}}{{2\gamma + \beta }}}$ να υπολογίσετε το

$\displaystyle{\frac{{2a + 3\beta + 5\gamma }}{{7\alpha + 11\beta + 13\gamma }}}$

#2

Κάτω από τις κατάλληλες προυποθέσεις (παρονομαστές διαφορετικοί του μηδενός) ισχύει:

$\displaystyle{\frac{{a + \beta }}{{2a + \gamma }} = \frac{{\beta + \gamma }}{{2\beta + a}} = \frac{{\gamma + a}}{{2\gamma + \beta }}}=\frac{a+\beta+\beta+\gamma+\gamma+a}{2a + \gamma +2\beta + a+2\gamma + \beta}=\frac{2}{3}$ .

Τότε:

$\displaystyle{\frac{{a + \beta }}{{2a + \gamma }}=\frac{2}{3} \Leftrightarrow 4a+2\gamma=3a+3\beta \Leftrightarrow a=3\beta-2\gamma (I)}$

και

$\displaystyle{\frac{{\beta +\gamma}}{{2\beta +a }}=\frac{2}{3} \Leftrightarrow 4\beta+2a=3\beta + 3\gamma \Leftrightarrow \beta+2a=3\gamma }$ ,

η οποία λόγω της (Ι) δίνει:

$\displaystyle{\beta+6\beta-4\gamma=3\gamma \Leftrightarrow \beta = \gamma}$

οπότε λόγω της (Ι) ισχύει και $\displaystyle{a=\beta=\gamma}$ .

Συνεπώς:
$\displaystyle{\frac{{2a + 3\beta + 5\gamma }}{{7\alpha + 11\beta + 13\gamma }}=\frac{{2a + 3a + 5a }}{{7a + 11a + 13a }}=\frac{10}{31}$ .

Αναλογίες

Αναλογίες

Re: Αναλογίες

Μέλη σε σύνδεση