Μέγιστη και ελάχιστη τιμή

#1

Να βεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του κλάσματος:

$K=\frac{2x^{2}+7y^{2}-12xy}{x^{2}+y^{2}}$ , όπου οι αριθμοί x,y

είναι πραγματικοί και όχι ταυτόχρονα μηδέν.

#2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Να βεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του κλάσματος:

$K=\frac{2x^{2}+7y^{2}-12xy}{x^{2}+y^{2}}$ , όπου οι αριθμοί είναι πραγματικοί και όχι ταυτόχρονα μηδέν.

Είναι

$\displaystyle{(K-2)x^2+12xy+(K-7)y^2=0}$ ( $\displaystyle{\color{red}\bigstar}$ )

Αν $\displaystyle{y=0,}$ η παράσταση λαμβάνει την τιμή $\displaystyle{2.}$

Ας είναι τώρα $\displaystyle{y\ne 0.}$

Η ( $\displaystyle{\color{red}\bigstar}$ ) γράφεται ως $\displaystyle{(K-2)t^2+12t+K-7=0}$

και για να έχει αυτή, η ως προς $\displaystyle{t}$ εξίσωση πραγματικές λύσεις, πρέπει και αρκεί

$\displaystyle{\frac{\Delta }{4}=36-(K-2)(K-7)\geq 0.}$

Από εδώ βρίσκουμε $\displaystyle{K\in [-2,11].}$

Είναι $\displaystyle{\max K=11}$ όταν $\displaystyle{3x+2y=0}$ και $\displaystyle{\min K=-2}$ όταν $\displaystyle{2x+3y=0}$ (εννοείται με $\displaystyle{xy\ne 0.}$ )

Antonis_Z · #3

Παρατηρούμε ότι: $-12xy\geq -(9y^2 + 4x^2)$
και επίσης $-12xy\leq 9x^2 + 4y^2$
Με την χρήση αυτών $K\geq \frac{-2(x^2+y^2)}{x^2+y^2}=-2$
και $K\leq \frac{11(x^2+y^2)}{x^2+y^2}=11$

#4

Ωραία ιδέα Αντ'ωνη, βγαίνει γρήγορα 'ετσι. (Μόνο, αν έχεις χρόνο, γράψε την πλήρη λύση, μιας και ο κανονισμός του mathematica, δεν επιτρέπει υποδείξεις)

#5

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Να βεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του κλάσματος:

$K=\frac{2x^{2}+7y^{2}-12xy}{x^{2}+y^{2}}$ , όπου οι αριθμοί είναι πραγματικοί και όχι ταυτόχρονα μηδέν.

Η ωραία λύση του Αντώνη αλλά με δικά μου λόγια:

$\displaystyle \frac{2x^{2}+7y^{2}-12xy}{x^{2}+y^{2}} = 11- \frac {(3x+2y)^2}{x^2+y^2}\le 11$ με ισότητα αν $x=2, \, y=-3$ και

$\displaystyle \frac{2x^{2}+7y^{2}-12xy}{x^{2}+y^{2}} = -2+ \frac {(2x-3y)^2}{x^2+y^2}\ge -2$ με ισότητα αν $x=3, \, y=2$ .

Φιλικά,

Μιχάλης

Μέγιστη και ελάχιστη τιμή

Μέγιστη και ελάχιστη τιμή

Re: Μέγιστη και ελάχιστη τιμή

Re: Μέγιστη και ελάχιστη τιμή

Re: Μέγιστη και ελάχιστη τιμή

Re: Μέγιστη και ελάχιστη τιμή

Μέλη σε σύνδεση