Aντικατάσταση και... πράξεις!

Γιώργος Απόκης · #1

Με την προϋπόθεση ότι ορίζονται όλα τα ριζικά, να αποδείξετε ότι ο αριθμός

$\displaystyle{r=\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^3}{27}}-\frac{a}{2}}-\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^3}{27}}+\frac{a}{2}}}}$ είναι ρίζα της εξίσωσης x^3+bx+a=0

pito · #2

Καλημέρα Γιώργο

Είναι $r^{3}+br+a=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}-\frac{a}{2}-\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}-\frac{a}{2}-3\sqrt[3]{(\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}+\frac{a}{2})(\sqrt{\frac{a^{2}}{24}+\frac{b^{3}}{27}}-\frac{a}{2})^{2}}+3\sqrt[3]{(\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}-\frac{a}{2})(\sqrt{\frac{a^{2}}{24}+\frac{b^{3}}{27}}+\frac{a}{2})^{2}}+b(\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a^{2}}{24}+\frac{b^{3}}{27}}-\frac{a}{2}}-\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}+\frac{a}{2}})$ = $3\sqrt[3]{\frac{b^{3}}{27}(\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}+\frac{a}{2}})-3\sqrt[3]{\frac{b^{3}}{27}(\sqrt{\frac{a^{2}}{24}+\frac{b^{3}}{27}}-\frac{a}{2}})+b(\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}-\frac{a}{2}})-\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}+\frac{a}{2}})=b(\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}+\frac{a}{2}}-\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}-\frac{a}{2}})-b(\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}+\frac{a}{2}}-\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}-\frac{a}{2}})=0$

και έτσι το

είναι ρίζα της δοσμένης εξίσωσης ( παραπάνω έγινε $(\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}-\frac{a}{2})^{2}(\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}+\frac{a}{2})=(\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}-\frac{a}{2})(\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}-\frac{a}{2})\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}+\frac{a}{2})=(\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}-\frac{a}{2})[(\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}})^{2}-\frac{a^{2}}{4}]=\frac{b^{3}}{27}(\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{3}}{27}}-\frac{a}{2})$ )

Μετά από τόση ώρα με latex δικαιούμαι ένα παγωτό!

Γιώργος Απόκης · #3

Eυχαριστώ για την ενασχόληση και την υπομονή pito!

#4

Γιώργος Απόκης έγραψε:Με την προϋπόθεση ότι ορίζονται όλα τα ριζικά, να αποδείξετε ότι ο αριθμός

$\displaystyle{r=\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^3}{27}}-\frac{a}{2}}-\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^3}{27}}+\frac{a}{2}}}}$ είναι ρίζα της εξίσωσης

Για όφελος των μαθητών μας ας δώσω μία σύντομη λύση, για να μην μένουν με την εντύπωση ότι τα Μαθηματικά είναι ανιαρά. Άλλωστε οι λιτές λύσεις πρέπει να είναι κεντρικό στοιχείο στην διδασκαλία μας.

Θα χρησιμοποιήσω την ταυτότητα $(A-B)^3=A^3-B^3-3AB(A-B) \,\, (*)$ . Εδώ r=A-B

όπου $\displaystyle A=\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^3}{27}}-\frac{a}{2}}$ και $\displaystyle B=\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^3}{27}}+\frac{a}{2}}}$ .

Είναι τετριμμένο ότι A^3-B^3= -a

. Επίσης, με διαφορά τετραγώνων είναι απλό να δούμε ότι

$\displaystyle AB= \sqrt[3]{ \left (\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^3}{27}}-\frac{a}{2} \right) \left (\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{b^3}{27}}+\frac{a}{2} \right) } = \sqrt[3]{\frac{b^3}{27}} } = \frac {b}{3}$ .

Αντικατάσταση στην (*)

δίνει

, από όπου το ζητούμενο.

Φιλικά,

Μιχάλης

S.E.Louridas · #5

$\begin{array}{*{20}c} {\left( {\sqrt[3]{{\sqrt {\frac{{a^2 }} {4} + \frac{{b^3 }} {{27}}} - \frac{a} {2}}}} \right)^3 + \left( { - \sqrt[3]{{\sqrt {\frac{{a^2 }} {4} + \frac{{b^3 }} {{27}}} + \frac{a} {2}}}} \right)^3 + \left( { - r} \right)^3 = } \\ {3r\left( {\sqrt[3]{{\sqrt {\frac{{a^2 }} {4} + \frac{{b^3 }} {{27}}} - \frac{a} {2}}}} \right)\left( {\sqrt[3]{{\sqrt {\frac{{a^2 }} {4} + \frac{{b^3 }} {{27}}} + \frac{a} {2}}}} \right) \Rightarrow r^3 + br + a = 0.} \\ \end{array}$

(*) $a + b + c = 0 \Rightarrow a^3 + b^3 + c^3 = 3abc.$

S.E.Louridas

Γιώργος Απόκης · #6

Ωραιότατες όλες οι λύσεις!

Aντικατάσταση και... πράξεις!

Aντικατάσταση και... πράξεις!

Re: Aντικατάσταση και... πράξεις!

Re: Aντικατάσταση και... πράξεις!

Re: Aντικατάσταση και... πράξεις!

Re: Aντικατάσταση και... πράξεις!

Re: Aντικατάσταση και... πράξεις!

Μέλη σε σύνδεση