Μικρότερο δεν γίνεται

KARKAR · #1

Ευθεία που διέρχεται από την κορυφή

του τετραγώνου ABCD

, τέμνει τις προεκτάσεις των AB , AD

στα σημεία

και

αντίστοιχα . Αν CS=x , CT=y , CA = d

, δείξτε ότι : $xy \geq d^2$

#2

: Δεν γίνεται μικρότερο.PNG (6.27 KiB) Προβλήθηκε 284 φορές

Από το ανωτέρω σχήμα είναι: $\displaystyle \left\{\begin{matrix}x^2=a^2+m^2\geq 2am \ \ (1) \\ y^2=a^2+n^2\geq 2an \ \ (2) \end{matrix}\right.$

Επίσης: $\displaystyle \left\{\begin{matrix} CD//AS\Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{a}{n}\\CB//AT\Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{m}{a} \end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{a}{n}=\frac{m}{a}\Rightarrow mn=a^2 \ \ (3)$

Από τις (1), (2) και (3) προκύπτει:
$\displaystyle x^2y^2\geq 4a^2mn=4a^2a^2\Rightarrow xy\geq 2a^2\Rightarrow xy\geq d^2$
Δηλαδή η ζητούμενη.

Κώστας Δόρτσιος

Μικρότερο δεν γίνεται

Μικρότερο δεν γίνεται

Re: Μικρότερο δεν γίνεται

Μέλη σε σύνδεση