11 Α-Άλγεβρα

Α.Κυριακόπουλος · #1

Θεωρούμε δύο πραγματικούς αριθμούς $\alpha$ και $\beta$ και υποθέτουμε ότι για κάθε $x\in \mathbb{R}$ ισχύει η συνεπαγωγή: $x>\beta \Rightarrow x\ge \alpha$ . Να αποδείξετε ότι: $\alpha \le \beta$ .

S.E.Louridas · #2

Απλά μία προσπάθεια με την ευχή, από καρδιάς, Καλή Χρονιά στον ΔΑΣΚΑΛΟ Αντώνη Κυριακόπουλο.

Αν υποθέσουμε ότι ενώ ισχύουν τα δεδομένα, δεχόμαστε σαν αλήθεια ότι,
$a > \beta ,\;\tau \dot o\tau \varepsilon :\;\frac{{a + \beta }} {2} > \beta \Rightarrow \frac{{a + \beta }} {2} \geqslant a,\;\dot \eta \;a > \beta \Rightarrow \beta \geqslant a,$
και καταλήγουμε σε προφανές άτοπο (αφού από αληθή πρόταση δεν συνεπάγεται ψευδής πρόταση).
Συνεπώς ισχύει: $a \leqslant \beta .$

S.E.Louridas

#3

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Θεωρούμε δύο πραγματικούς αριθμούς $\alpha$ και $\beta$ και υποθέτουμε ότι για κάθε $x\in \mathbb{R}$ ισχύει η συνεπαγωγή: $x>\beta \Rightarrow x\ge \alpha$ . Να αποδείξετε ότι: $\alpha \le \beta$ .

Ας υποθέσουμε, με απαγωγή σε άτοπο, ότι $\displaystyle{\alpha>\beta}$ .

Τότε αφού $\displaystyle{\alpha>\dfrac{\alpha+\beta}{2}>\beta}$ (1),

από την υπόθεση με $x=\dfrac{\alpha+\beta}{2}$ και την (1) έπεται ότι

$\displaystyle{\alpha>\dfrac{\alpha+\beta}{2}\geq \alpha}$ , δηλ. $\alpha>\alpha$ , άτοπο.

Σε άτοπο καταλήξαμε επιδή υποθέσαμε ότι $\displaystyle{\alpha>\beta}$ . Συνεπώς, ισχύει $\displaystyle{\alpha\leq \beta}$ .

Φιλικά,

Αχιλλεάς

Με πρόλαβε ο Σωτήρης...

k-ser · #4

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Θεωρούμε δύο πραγματικούς αριθμούς $\alpha$ και $\beta$ και υποθέτουμε ότι για κάθε $x\in \mathbb{R}$ ισχύει η συνεπαγωγή: $x>\beta \Rightarrow x\ge \alpha$ . Να αποδείξετε ότι: $\alpha \le \beta$ .

Αν υποθέσουμε ότι $\displaystyle \beta <\alpha$ τότε για κάθε $\displaystyle x \in (\beta, \alpha)$ η συνεπαγωγή δεν ισχύει. Άρα πρέπει $\displaystyle \alpha \le \beta$ .

Γιώργος Απόκης · #5

Καλησπέρα. Μια απόπειρα με διαστήματα. Ισχύει η συνεπαγωγή : $x\in (\beta,+\infty)\Rightarrow x\in [\alpha,+\infty)$ άρα ισχύει:

$(\beta,+\infty) \subseteq [\alpha,+\infty)$ επομένως $\alpha \leq \beta$ .

ΙΩΑΝΝΟΥ Ι. · #6

Να βελτιώσουμε λίγο την εκφώνηση,διότι η συνεπαγωγή δέν ισχύει για κάθε πραγματικό αριθμό χ.Δυστυχώς δεν έχω εκπαιδευτεί στην γραφή με LATEX για να γράψω αυτό που εννοώ.

Α.Κυριακόπουλος · #7

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Θεωρούμε δύο πραγματικούς αριθμούς $\alpha$ και $\beta$ και υποθέτουμε ότι για κάθε $x\in \mathbb{R}$ ισχύει η συνεπαγωγή: $x>\beta \Rightarrow x\ge \alpha$ . Να αποδείξετε ότι: $\alpha \le \beta$ .

ΙΩΑΝΝΟΥ Ι. έγραψε:Να βελτιώσουμε λίγο την εκφώνηση,διότι η συνεπαγωγή δέν ισχύει για κάθε πραγματικό αριθμό χ.Δυστυχώς δεν έχω εκπαιδευτεί στην γραφή με LATEX για να γράψω αυτό που εννοώ.

Στην άσκηση αυτή η υπόθεση είναι ότι η συνεπαγωγή ισχύει για κάθε πραγματικό αριθμό

. Να βελτιώσουμε τι; Η εκφώνηση είναι σαφέστατη.

11 Α-Άλγεβρα

11 Α-Άλγεβρα

Re: 11 Α-Άλγεβρα

Re: 11 Α-Άλγεβρα

Re: 11 Α-Άλγεβρα

Re: 11 Α-Άλγεβρα

Re: 11 Α-Άλγεβρα

Re: 11 Α-Άλγεβρα

Μέλη σε σύνδεση