Όλο και ψηλότερα

KARKAR · #1

Αν

και

τότε βρείτε το : x^4+y^4

#2

1ος τρόπος
Έχουμε ότι:

x^3+y^3=(x+y)^3-3(x+y)xy

,

οπότε: $3=2^3-6xy \Leftrightarrow xy=\frac{5}{6}$ .

Συνεπώς:

$\displaystyle{x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2=[(x+y)^2-2xy]^2-2(xy)^2=\left ( 2^2-2 \frac{5}{6} \right )-2 \left (\frac{5}{6} \right )^2=\frac{73}{18}}$ .

2ος τρόπος

Λύνουμε το σύστημα και βρίσκουμε ότι:

$\displaystyle{(x,y)=\left ( \frac{6-\sqrt{6}}{6}, \frac{6+\sqrt{6}}{6}\right)}$ ή $\displaystyle{(x,y)=\left ( \frac{6+\sqrt{6}}{6}, \frac{6-\sqrt{6}}{6}\right)}$

και αντικαθιστώντας προκύπτει το ίδιο αποτέλεσμα.

edit: Αλλαγή ενός = σε +. Ευχαριστώ Γιώργο!!!

Γιώργος Απόκης · #3

Με πρόλαβε ο Λευτέρης με τον 1ο τρόπο! Δίνω έναν ακόμα (με ενδιάμεσο υπολογισμό του x^2+y^2

)

Έχουμε $x+y=2\Rightarrow (x+y)^2=4\Rightarrow x^2+2xy+y^2=4\Rightarrow x^2+y^2=4-2xy$ (1) και

$\displaystyle{x^3+y^3=3 \Rightarrow (x+y)(x^2-xy+y^2)=3\overset{x+y=2}\Rightarrow 2(x^2-xy+y^2)=3\Rightarrow x^2+y^2=\frac{3}{2}+xy}$ (2). Aπό τις (1), (2) έχουμε:

$\displaystyle{4-2xy=\frac{3}{2}+xy\color{blue}\Rightarrow\color{black}xy=\frac{5}{6}}$ και από την (1): $\displaystyle{x^2+y^2=4-\frac{5}{3}=\frac{7}{3}}$ . Tώρα, έχουμε:

$\displaystyle{x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2=(x^2+y^2)^2-2(xy)^2=\left(\frac{7}{3}\right)^2-2\left(\frac{5}{6}\right)^2=\frac{49}{9}- \frac{25}{18}=\frac{73}{18}}$

Edit: Διόρθωσα ένα σύμβολο συνεπαγωγής. Ευχαριστώ τον κ. Αντώνη για την επισήμανση

dr.tasos · #4

$\displaystyle{x^3+y^3+3xy(x+y)=8 \Leftrightarrow 6xy=5 \Leftrightarrow xy=\frac{5}{6} \; \; (1)}$
$\displaystyle{x^2+y^2=4-\frac{5}{3} \Leftrightarrow x^2+y^2=\frac{7}{3} (2)}$
$\displaystyle{x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2(xy)^2 \Leftrightarrow x^4+y^4=\frac{7}{3}-2(\frac{5}{6})^2 \Leftrightarrow x^4+y^4=\frac{196-50}{36} \Leftrightarrow x^4+y^4=\frac{146}{36} \Leftrightarrow x^4+y^4=\frac{73}{18}}$
Απότι βλέπω με έφαγαν λάχανο οι μαθηματικοί.

Γιώργος Απόκης · #5

dr.tasos έγραψε: Απότι βλέπω με έφαγαν λάχανο οι μαθηματικοί.

Πολύ καλή και γρήγορη λύση ...μαθητή Τάσο!

Καλή συνέχεια!

dr.tasos · #6

Δεν θα σχολιάσω το γρηγορη .

Γιώργος Απόκης · #7

dr.tasos έγραψε:Δεν θα σχολιάσω το γρηγορη .

Σύντομη μάλλον...

Όλο και ψηλότερα

Όλο και ψηλότερα

Re: Όλο και ψηλότερα

Re: Όλο και ψηλότερα

Re: Όλο και ψηλότερα

Re: Όλο και ψηλότερα

Re: Όλο και ψηλότερα

Re: Όλο και ψηλότερα

Μέλη σε σύνδεση