"Συζυγείς" ρίζες τριωνύμου

Γιώργος Απόκης · #1

Αν η εξίσωση ax^2+bx+c=0

με $a,b,c\in \mathbb Q^{*}$ έχει ρίζα τον αριθμό $x_1=m+\sqrt{n}$ με $m,n \in \mathbb Q,n>0$ και $\sqrt{n}$ άρρητο,

τότε να αποδείξετε ότι η άλλη της ρίζα είναι ο αριθμός $x_2=m-\sqrt{n}$ .

#2

Εφόσον ο $\displaystyle{x_1=m+\sqrt{n}}, \ \ m, n \in Q, \sqrt{n} \cancel {\in }Q$ είναι ρίζα του τριωνύμου
$\displaystyle{f(x)=ax^2+bx+c, \ \ a,b,c \in Q^*}$
αυτό σημαίνει ότι θα είναι:
$\displaystyle{f(x_1)=0, \ \ (1)}$
Αντικαθιστώντας βρίσκουμε την ισοδύναμη της (1):
$\displaystyle{(am^2+an+bm+c)+(2am+b)\sqrt{n}=0 \ \ (2)}$
όπου:
$\displaystyle{am^2+an+bm+c \in Q}$ και $\displaystyle{2am+b \in Q}$

Από τη (2) προκύπτει:
$\displaystyle{am^2+an+bm+c =0}$
και
$\displaystyle{2am+b =0}$
(γιατί αλλιώτικα θα ήταν ένας ρητός αριθμός ίσος με έναν άρρητο)

Από τις δύο τελευταίες αυτές σχέσεις προκύπτει:
$\displaystyle{(am^2+an+bm+c)-(2am+b)\sqrt{n}=0}$
η οποία ισοδυναμεί με την
$\displaystyle{f(x_2)=0}$
που δηλώνει πως η $\displaystyle{x_2=m-\sqrt{n}}$ είναι ρίζα του τριωνύμου αυτού.

Κώστας Δόρτσιος

Γιώργος Απόκης · #3

Kώστα ευχαριστώ για την ενασχόληση και την κομψότατη λύση!

styt_geia · #4

Κάτι γενικότερο εδώ

"Συζυγείς" ρίζες τριωνύμου

"Συζυγείς" ρίζες τριωνύμου

Re: "Συζυγείς" ρίζες τριωνύμου

Re: "Συζυγείς" ρίζες τριωνύμου

Re: "Συζυγείς" ρίζες τριωνύμου

Μέλη σε σύνδεση