Θέμα 46

ghan · #1

Αν για τους $\displaystyle{a,b,c,d\in \mathbb{R}$ ισχύει: $\displaystyle{ab\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)=cd\left( {{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right)$ και θέσουμε:
$\dispaystyle{x=a+b+c+d$
$\dispaystyle{y=a+b-c-d$
$\dispaystyle{z=a-b+c-d$
$\dispaystyle{u=a-b-c+d$
Τότε θα ισχύει και: $xy\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)=zu\left( {{z}^{2}}+{{u}^{2}} \right)$ .

dr.tasos · #2

Λοιπόν δίνω την λύση :
$(a+b+c+d)(a+b-c-d)[2(a+b)^2+2(c+d)^2+2(a+b)(c+d)-2(a+b)(c+d)]=(a-b-c+d)(a-b+c-d)[2(a-b)^2+2(c-d)^2+2(a-b)(c-d)-2(a-b)(c-d) \Leftrightarrow [(a+b)^2-(c+d)^2][(a+b)^2+(c+d)^2]=[(a-b)^2-(c-d)^2][(a-b)^2+(c-d)^2] \Leftrightarrow (a+b)^4-(c+d)^4=(a-b)^4+(c-d)^4 \Leftrightarrow (a+b)^4-(a-b)^4=(c+d)^4-(c-d)^4 \Leftrightarrow (2a^2+2b^2)(4ab)=(2c^2+2d^2)(4cd) \Leftrightarrow (a^2+b^2)ab=cd(c^2+d^2)$

που ισχύει λόγω της υπόθεσης

Θέμα 46

Θέμα 46

Re: Θέμα 46

Μέλη σε σύνδεση