14 Α- Άλγεβρα

Α.Κυριακόπουλος · #1

Να αποδείξετε ότι:
Για κάθε αριθμό $\varepsilon >0$ , υπάρχει αριθμός $\delta >0$ , τέτοιος ώστε να ισχύει: $\left| {{x}^{2}}-x-6 \right|<\varepsilon$ , για κάθε αριθμό $x\in R$ με $0<\left| x-3 \right|<\delta$ .
Συμβολικά:
$\forall \varepsilon > 0,\exists \delta > 0,\forall x \in R,0 < \left| {x - 3} \right| < \delta \Rightarrow \left| {{x^2} - x - 6} \right| < \varepsilon$ .
• Ποια είναι η άρνηση της πρότασης αυτής;
Σημείωση 1. Ένας που έχει υπόψη του τους ορισμούς των ορίων αναγνωρίζει ότι ζητάμε να αποδείξουμε με τον $\varepsilon -\delta$ ορισμό ότι: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} ({x^2} - x) = 6$ . Η λύση ίσως να παρουσιάζει κάποιες δυσκολίες ως προς την λογική διαδικασία που πρέπει να ακολουθήσουμε. Αλλά έχω τη γνώμη ότι οι μαθητές από μικροί πρέπει να κατανοήσουν και να μάθουν να χειρίζονται τους ποσοδείκτες, αν θέλουμε κάποτε να μπορέσουν να εμβαθύνουν στα μαθηματικά.
Σημείωση 2. Παρακαλώ μόνο ολοκληρωμένες και αναλυτικές λύσεις ( όχι φωτοβολίδες), διαφορετικά δεν βοηθάμε τους μαθητές στην κατανόηση των μαθηματικών εννοιών.

ghan · #2

Διέγραψα τη λύση που είχα δώσει, διότι δεν πρόσεξα ότι έλεγε να
αποδειχθούν (τα παρακάτω) για κάθε πραγματικό αριθμό

.

#3

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Να αποδείξετε ότι:
Για κάθε αριθμό $\varepsilon >0$ , υπάρχει αριθμός $\delta >0$ , τέτοιος ώστε να ισχύει: $\left| {{x}^{2}}-x-6 \right|<\varepsilon$ , για κάθε αριθμό $x\in R$ με $0<\left| x-3 \right|<\delta$ .
Συμβολικά:
$\forall \varepsilon > 0,\exists \delta > 0,\forall x \in R,0 < \left| {x - 3} \right| < \delta \Rightarrow \left| {{x^2} - x - 6} \right| < \varepsilon$ .
• Ποια είναι η άρνηση της πρότασης αυτής;
Σημείωση 1. Ένας που έχει υπόψη του τους ορισμούς των ορίων αναγνωρίζει ότι ζητάμε να αποδείξουμε με τον $\varepsilon -\delta$ ορισμό ότι: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} ({x^2} - x) = 6$ . Η λύση ίσως να παρουσιάζει κάποιες δυσκολίες ως προς την λογική διαδικασία που πρέπει να ακολουθήσουμε. Αλλά έχω τη γνώμη ότι οι μαθητές από μικροί πρέπει να κατανοήσουν και να μάθουν να χειρίζονται τους ποσοδείκτες, αν θέλουμε κάποτε να μπορέσουν να εμβαθύνουν στα μαθηματικά.
Σημείωση 2. Παρακαλώ μόνο ολοκληρωμένες και αναλυτικές λύσεις ( όχι φωτοβολίδες), διαφορετικά δεν βοηθάμε τους μαθητές στην κατανόηση των μαθηματικών εννοιών.

Έμεινε πολύ καιρό αναπάντητο. Ένα θέμα κλασσικό για έναν πρωτοετή φοιτητή του Μαθηματικού, αλλά πολύ φοβάμαι δάσκαλε, πάρα πολύ δύσκολο για

έναν σημερινό μαθητή της Α λυκείου.

$\left|x- 3\right|< \delta \Rightarrow \left| \left|x\right|-3\right|<\delta \Rightarrow \left|x \right|<\delta+3$

Έχουμε $\left|x^2-x-6\right|=\left|x-3\right|\left|x+2\right|\le \left|x-3\right|\left(\left|x\right|+2\right)$

$\le \delta \left(\delta +5\right)$

Άρα για να ισχύει το $\left|x^2-x-6\right|<\varepsilon,\ \forall x$ με $0< \left|x-3\right|<\delta$

αρκεί να επιλέξουμε $\delta >0$ ώστε $\delta^2+5\delta-\varepsilon<0$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \frac {-5-\sqrt{25+4\varepsilon}}{2}<\delta < \frac {-5+\sqrt{25+4\varepsilon}}{2}}$

Αρκεί λοιπόν $\displaystyle{0<\delta<\frac {-5+\sqrt{25+4\varepsilon}}{2}}$

Η άρνηση της πρότασης είναι:

$\exists \varepsilon >0, \forall \delta >0, \exists x_{\delta},(0<\left|x_{\delta}-3\right|<\delta \wedge \left|x_{\delta}^2-x_{\delta}-6\right| \ge \varepsilon)$

14 Α- Άλγεβρα

14 Α- Άλγεβρα

Re: 14 Α- Άλγεβρα

Re: 14 Α- Άλγεβρα

Μέλη σε σύνδεση