Τέσσερις ρίζες και αυτές πραγματκές

alexandropoulos · #1

Να προσδιορισθεί η τιμή του πραγματικού

ώστε η εξίσωση $\displaystyle{(m-1)x^4-5x^2+3m-2=0}$ να έχει όλες τις ρίζες της (τέσσερις) πραγματικές .

dr.tasos · #2

Δεν ξερω τι παιζει απο πραξεις ( μαλλον πολλες μου φαινονται ) . Αλλα θα θεσουμε την διακρινουσα αρχικα μεγαλυτερη του μηδενος . Μετα βγαζουμε τις δυο ρίζες και τις θετουμε και αυτες μεγαλυτερες ισες του μηδενος λυνουμε τις ανισωσεις και συναληθευουμε για το $\displaystyle{ m }$ .

alexandropoulos · #3

dr.tasos έγραψε:Δεν ξερω τι παιζει απο πραξεις ( μαλλον πολλες μου φαινονται ) . Αλλα θα θεσουμε την διακρινουσα αρχικα μεγαλυτερη του μηδενος . Μετα βγαζουμε τις δυο ρίζες και τις θετουμε και αυτες μεγαλυτερες ισες του μηδενος λυνουμε τις ανισωσεις και συναληθευουμε για το $\displaystyle{ m }$ .

Στις τάξεις τις μικρές καλό θα είναι να έχουμε αναλυτικές λύσεις

Ch.Chortis · #4

alexandropoulos έγραψε:Να προσδιορισθεί η τιμή του πραγματικού ώστε η εξίσωση $\displaystyle{(m-1)x^4-5x^2+3m-2=0}$ να έχει όλες τις ρίζες της (τέσσερις) πραγματικές .

Αν

τότε η εξίσωση γίνεται: $-5x^2+1=0 \Leftrightarrow x=\pm\dfrac{1}{\sqrt{5}}.$ Σ' αυτή την περίπτωση η εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες.

Αν $m\neq 1$ τότε θέτουμε x^2=z

και η εξίσωση μετασχηματίζεται στην (m-1)z^2-5z+3m-2=0

με διακρίνουσα,
$\displaystyle \Delta(z)=(-5)^2-4(m-1)(3m-2)=25-4(3m^2-5m+2)=$

$25-12m^2+20m-8=-12m^2+20m+17 \geq 0 \Leftrightarrow 12m^2-20m-17\leq 0 \; (1)$ .

$\displaystyle \Delta(m)=(-20)^2-4(-17)12=400+816=1216$ και $\displaystyle m_1=\frac {20+\sqrt {1216}} {24}=\frac {5+2\sqrt {19}} {6},~m_2=\frac {20-\sqrt {1216}} {24}=\frac {5-2\sqrt {19}} {6}$ .
Άρα $(1) \Leftrightarrow \dfrac {5-2\sqrt {19}} {6}\leq m\leq \dfrac {5+2\sqrt {19}} {6}$
Η εξίσωση έχει τέσσερις πραγματικές ρίζες, αν και μόνο αν, η επιλύουσα έχει μη αρνητικές ρίζες. Από τους τύπους Vieta έχουμε:

$\displaystyle z_1+z_2=-\frac {b} {a}=\frac {5} {m-1} >0 \Leftrightarrow m>1$

$\displaystyle z_1z_2=\frac {\gamma} {a}=\frac {3m-2} {m-1}\geq 0 \Leftrightarrow3m-2\geq 0 \Leftrightarrow 3m\geq 2 \Rightarrow m\geq\frac {2} {3}$

δηλαδή οι δύο ανισώσεις συναληθεύουν για m>1

και συνεπώς $\displaystyle 1<m\leq\frac {5+\sqrt {19}} {6}$ .

Έγινε διαμόρφωση για καλύτερη παρουσίαση της λύσης.

alexandropoulos · #5

Ch.Chortis έγραψε:
alexandropoulos έγραψε:Να προσδιορισθεί η τιμή του πραγματικού ώστε η εξίσωση $\displaystyle{(m-1)x^4-5x^2+3m-2=0}$ να έχει όλες τις ρίζες της (τέσσερις) πραγματικές .
Θέτουμε και λύνουμε την εξίσωση με διακρίνουσα,δηλαδή: $\displaystyle (m-1)z^2-5z+3m-2=0 Leftrightarrow \Delta(z)=(-5)^2-4(m-1)(3m-2)=25-4(3m^2-5m+2)=25-12m^2+20m^2-7=-12m^2+20m+17 \geq 0 \Leftrightarrow 12m^2-20m-17\leq 0 (1)$ .
Παίρνουμε τώρα τη διακρίνουσα αυτής της εξίσωσης: $\displaystyle \Delta(m)=(-20)^2-4(-17)12=400+816=1216$ και αποκτούμε τις ρίζες: $\displaystyle m_1<\frac {20+\sqrt {1216}} {24}=2,28,~m_2>\frac {20-\sqrt {1216}} {24}=-0,62$ .
Τώρα που βρήκαμε τις τίμες του για τις οποίες η διακρίνουσα του είναι θετική θα πρέπει να βρούμε επίσης(από τους τύπους Vietta) οτι: $\displaystyle -\frac {b} {a}=z_1+z_2=\frac {5} {m-1} >0 \Rightarrow m>1,~~\frac {\gamma} {a}=z_1z_2=\frac {3m-2} {m-1} >0 \Rightarrow \frac {m} {m-1}+2>0 \Rightarrow m>-2(m-1) \Rightarrow m>-2m+2 \Rightarrow 3m>2 \Rightarrow m>\frac {2} {3}$ δηλαδή η δύο ανισώσεις συναληθεύουν για (απορρίπτεται η δεύτερη μας λύση και συνεπώς $\displaystyle \frac {20+\sqrt {1216}} {24} >m>1$ .
Έχω κάνει κάπου λάθος(δε βρίσκω συγκεκριμένη τιμή του );

με μια γρήγορη ματιά χρειάζεται διόρθωση η διακρίνουσα στο δεύτερο ίσον