2 ασκήσεις στο τριώνυμο

batmsup1 · #1

Ψάχνοντας για πιο απαιτητικές ασκήσεις στο τριώνυμο, συνάντησα τις παρακάτω που με δυσκόλεψαν κάπως. Τις παραθέτω μήπως κάποιος βρει διαφορετικές λύσεις.

1. Aν f(x),g(x)

συναρτήσεις τριώνυμα, με $\left|f(x) \right|\leq \left|g(x) \right|$ για κάθε πραγματικό χ, δείξτε οτι την ίδια σχέση ικανοποιούν και οι διακρίνουσές τους αντίστοιχα.

2. Aν m είναι ρίζα της $f(x)=a x^{2}+bx+c$ δείξτε οτι $\left|m \right| \leq \frac{\left|a \right|+\left|b \right|+\left|c \right|}{\left|a \right|}, a\neq 0$

#2

Για τη

μία γρήγορη λύση.
Αρκεί να αποδείξω πως:
$\displaystyle{ \left| m \right| \le 1 + \left| {\frac{b}{a}} \right| + \left| {\frac{c}{a}} \right| }$
Αν ονομάσω m' την έτερη ρίζα του τριωνύμου, αρκεί:
$\displaystyle{ \left| m \right| \le 1 + \left| {m + m'} \right| + \left| {mm'} \right| }$
Αν
$\displaystyle{ \left| m \right| \le 1 }$ δεν έχω τίποτα να αποδείξω.
Ας είναι:
$\displaystyle{ \left| m \right| > 1 }$
Τότε υποθέτω πως:
$\displaystyle{ \left| m \right| > 1 + \left| {m + m'} \right| + \left| m \right|\left| {m'} \right| \Rightarrow \left| m \right| - \left| {m + m'} \right| > 1 + \left| m \right|\left| {m'} \right| \Rightarrow \left| {m'} \right| \ge \left| m \right| - \left| {m + m'} \right| > 1 + \left| m \right|\left| {m'} \right| \Rightarrow \left| {m'} \right| > 1 + \left| m \right|\left| {m'} \right| }$
δηλαδή:
$\displaystyle{ \left| {m'} \right| - \left| m \right|\left| {m'} \right| > 1 \Rightarrow \left| {m'} \right|(1 - \left| m \right|) > 1 > 0 }$
Αυτό όμως είναι άτοπο αφού υποθέσαμε πως:
$\displaystyle{ |m| > 1 }$
Επομένως και σε αυτήν την περίπτωση έχουμε:
$\displaystyle{ |m| \le 1 + \left| {m + m'} \right| + \left| m \right|\left| {m'} \right| }$

dr.tasos · #3

Επαναφορα για την πρωτη ,

batmsup1 · #4

Η πρώτη είναι θέμα απο Putnam 2003.

chris · #5

Εδώ κάποιες ιδέες!

2 ασκήσεις στο τριώνυμο

2 ασκήσεις στο τριώνυμο

Re: 2 ασκήσεις στο τριώνυμο

Re: 2 ασκήσεις στο τριώνυμο

Re: 2 ασκήσεις στο τριώνυμο

Re: 2 ασκήσεις στο τριώνυμο

Μέλη σε σύνδεση