Για τις εξετάσεις...

Συντονιστής: stranton

Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2771
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Για τις εξετάσεις...

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Τετ Μάιος 01, 2013 10:27 pm

Καλησπέρα :logo:

Με αφορμή τις εξετάσεις που έρχονται ας φτιάξουμε μια τράπεζα θεμάτων με θέματα
που να αφορούν δύο τουλάχιστον κεφάλαια της ύλης και να έχουν τρία τουλάχιστον ερωτήματα.

Θέμα 1ο
Δίνονται οι συναρτήσεις f,g με f(x)=2x^2+3x-5,g(x)=x^2+x+3.
Έστω επίσης η συνάρτηση h με h(x)=2f(x)+g(x) με ρίζες τις x_1,x_2.

α) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τον άξονα x'x.

β) Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων για τα οποία η C_f είναι κάτω από την C_g.

γ) Να υπολογίσετε την παράσταση \displaystyle{A=\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}}.

δ) Να βρείτε μια εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες x_1^2,x_2^2.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
nick-mathsfan
Δημοσιεύσεις: 18
Εγγραφή: Δευ Νοέμ 01, 2010 9:13 pm

Re: Για τις εξετάσεις...

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από nick-mathsfan » Πέμ Μάιος 02, 2013 10:09 am

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:Καλησπέρα :logo:

Με αφορμή τις εξετάσεις που έρχονται ας φτιάξουμε μια τράπεζα θεμάτων με θέματα
που να αφορούν δύο τουλάχιστον κεφάλαια της ύλης και να έχουν τρία τουλάχιστον ερωτήματα.

Θέμα 1ο
Δίνονται οι συναρτήσεις f,g με f(x)=2x^2+3x-5,g(x)=x^2+x+3.
Έστω επίσης η συνάρτηση h με h(x)=2f(x)+g(x) με ρίζες τις x_1,x_2.

α) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τον άξονα x'x.

β) Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων για τα οποία η C_f είναι κάτω από την C_g.

γ) Να υπολογίσετε την παράσταση \displaystyle{A=\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}}.

δ) Να βρείτε μια εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες x_1^2,x_2^2.


Αρχικά, Καλημέρα στον κόσμο του :logo: . Για την άσκηση:
α) Για να τέμνει η f(\chi ) τον άξονα x'x πρέπει f(\chi )=0(y=0)
f(\chi )=0\Leftrightarrow
2\chi ^2+3\chi -5=0\Leftrightarrow
\left(2\chi +5 \right)*\left(\chi -1 \right)=0\Leftrightarrow
ή\chi=1 ή \chi=-\frac{5}{2}
Άρα, η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) τέμνει τον άξονα x'x στα σημεία Α(1,0) ΚΑΙ Β(-\frac{5}{2},0)
β)Θέλουμε f(\chi )<g(\chi )\Leftrightarrow
2\chi ^2+3\chi -5<\chi ^2+\chi +3\Leftrightarrow
\chi ^2+2\chi -8<0\Leftrightarrow
\left(\chi +4 \right)*\left(\chi -2 \right)<0\Leftrightarrow
\chi \in \left(-4,2 \right)
γ) Έχουμε h(\chi )=2f(\chi )+g(\chi )\Leftrightarrow(Μετά από τις κατάλληλες πράξεις)
h(\chi )=5\chi ^{2}+7\chi -7
Από τους τύπους του Vieta,έχουμε:
P=\chi _{1}*\chi _{2}=\frac{\gamma }{\alpha }=-\frac{7}{5} και S=\chi _{1}+\chi _{2}=-\frac{\beta  }{\alpha }=-\frac{7}{5}

\displaystyle{A=\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}}\Leftrightarrow

\displaystyle{A=\frac{x_1^{2}+x_2^{2}}{x_1*x_2}}\Leftrightarrow

\displaystyle{A=\frac{\frac{49}{25}-2*\left(- \frac{7}{5}\right)}{-\frac{7}{5}}}\Leftrightarrow

\displaystyle{A=\frac{\frac{49}{25}+\frac{14}{5}}{-\frac{7}{5}}}\Leftrightarrow

\displaystyle{A=\frac{\frac{119}{25}}{-\frac{7}{5}}}\Leftrightarrow

\displaystyle{A=-\frac{17}{5}}

δ)Θέλουμε να φτιάξουμε μία εξίσωση της μορφής \chi ^{2}- S_{2}\chi +P_{2}
Γι'αυτό το λόγο βρίσκουμε τα S_{2},P_{2} αντίστοιχα:
S_{2}=\chi _{1}^{2}+\chi _{2}^{2}\Leftrightarrow
S_{2}=\left(\chi _{1}+\chi _{2} \right) ^{2}-2\left(\chi _{1}*\chi _{2} \right)\Leftrightarrow
S_{2}=\frac{119}{25}(από ερώτημα γ)

P_{2}=\chi _{1}^{2}*\chi _{2}^{2}\Leftrightarrow
P_{2}=\left( \chi _{1}*\chi _{2}\right)^{2}\Leftrightarrow
P_{2}=\frac{49}{25}

Συνεπώς η εξίσωση με ρίζες x_1^2,x_2^2 είναι η:
\chi ^{2}-\frac{119}{25}\chi +\frac{49}{25}


Give a Monkey a Brain and He'll Swear He's the Center of the Universe...
Εικόνα
Νικόλας Κουγιάτσος
Άβαταρ μέλους
nick-mathsfan
Δημοσιεύσεις: 18
Εγγραφή: Δευ Νοέμ 01, 2010 9:13 pm

Re: Για τις εξετάσεις...

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από nick-mathsfan » Πέμ Μάιος 02, 2013 12:20 pm

Θέμα 2ο
Δίνεται η παραβολή f(\chi )=2\chi ^{2}-\chi -1. Να βρείτε:
α/την κορυφή της
β/τον άξονα συμμετρίας της
γ/τα σημεία τομής της με τους άξονες
δ/τα ακρότατα της


Give a Monkey a Brain and He'll Swear He's the Center of the Universe...
Εικόνα
Νικόλας Κουγιάτσος
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2771
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Για τις εξετάσεις...

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Σάβ Μάιος 04, 2013 5:48 pm

nick-mathsfan έγραψε:Θέμα 2ο
Δίνεται η παραβολή \displaystyle{f(\chi )=2\chi ^{2}-\chi -1}. Να βρείτε:
α/την κορυφή της
β/τον άξονα συμμετρίας της
γ/τα σημεία τομής της με τους άξονες
δ/τα ακρότατα της


α) Από τη θεωρία γνωρίζουμε ότι η κορυφή έχει συντεταγμένες
\displaystyle{\displaystyle{\left( -\frac{\beta}{2a},-\frac{\Delta}{4a} \right) = \left(\frac{1}{4},-\frac{9}{8} \right)}}.

β) Από τη θεωρία γνωρίσουμε ότι άξονας συμμετρίας είναι η ευθεία με εξίσωση \displaystyle{\displaystyle{x=-\frac{\beta}{2a}=\frac{1}{4}}}.

γ) Για \displaystyle{x=0} έχουμε \displaystyle{f(0)=-1}, οπότε το σημείο τομής με τον άξονα \displaystyle{y'y} είναι το \displaystyle{(0,-1)}.
Λύνουμε την εξίσωση \displaystyle{f(x)=0} και βρίσκουμε \displaystyle{x=1} ή \displaystyle{x=-\frac 12},
οπότε τα σημεία τομής με τον άξονα \displaystyle{x'x} είναι τα \displaystyle{A(1,0),B\left(-\frac 12, 0 \right)}.

δ) Από τη θεωρία γνωρίζουμε ότι όταν \displaystyle{a>0} η παραβολή παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο σημείο
\displaystyle{\left( -\frac{\beta}{2a},-\frac{\Delta}{4a} \right) = \left(\frac{1}{4},-\frac{9}{8} \right)}.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2771
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Για τις εξετάσεις...

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Σάβ Μάιος 04, 2013 5:57 pm

Θέμα 3ο

Δίνονται οι συναρτήσεις f,g με \displaystyle{f(x)=\sqrt{-x^2-x+2}+\sqrt{2x+1},g(x)=x-5}.

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων \displaystyle{f,g}.

β) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{f(0)>\frac{12}{5}}.

γ) Να ρητοποιήσετε την παράσταση \displaystyle{A=\frac{2}{f(1)-3}+\frac{1}{f\left(-\frac 12\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}}}.

δ) Να αποδείξετε ότι οι \displaystyle{C_f,C_g} δεν τέμνονται.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3675
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Για τις εξετάσεις...

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Σάβ Μάιος 04, 2013 7:04 pm

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:Θέμα 3ο

Δίνονται οι συναρτήσεις f,g με \displaystyle{f(x)=\sqrt{-x^2-x+2}+\sqrt{2x+1},g(x)=x-5}.

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων \displaystyle{f,g}.

β) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{f(0)>\frac{12}{5}}.

γ) Να ρητοποιήσετε την παράσταση \displaystyle{A=\frac{2}{f(1)-3}+\frac{1}{f\left(-\frac 12\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}}}.

δ) Να αποδείξετε ότι οι \displaystyle{C_f,C_g} δεν τέμνονται.


α) Πρέπει \left\{ \begin{gathered}
   - {x^2} - x + 2 \geqslant 0 \\ 
  2x + 1 \geqslant 0 \\ 
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
   - 2 \leqslant x \leqslant 1 \\ 
  x \geqslant  - \dfrac{1}{2} \\ 
\end{gathered}  \right. \Rightarrow  - \dfrac{1}{2} \leqslant x \leqslant 1 \Rightarrow \boxed{{A_f} = \left[ { - \dfrac{1}{2},1} \right]}.

β) Είναι f\left( 0 \right) > \dfrac{{12}}{5} \Leftrightarrow \sqrt 2  + 1 > \dfrac{{12}}{5} \Leftrightarrow \sqrt 2  > \dfrac{{12}}{5} - 1 \Leftrightarrow \sqrt 2  > \dfrac{7}{5} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} > {\left( {\dfrac{7}{5}} \right)^2} \Leftrightarrow 2 > \dfrac{{49}}{25} \Leftrightarrow 50 > 49 που ισχύει άρα και η αρχική.

γ) A = \dfrac{2}{{f\left( 1 \right) - 3}} + \dfrac{1}{{f\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{2}{{\sqrt 3  - 3}} + \dfrac{1}{{\dfrac{3}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{2}{{\sqrt 3  - 3}} + \dfrac{2}{{\sqrt 3  + 3}} = \dfrac{{2\left( {\sqrt 3  + 3 + \sqrt 3  - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt 3  - 3} \right)\left( {\sqrt 3  + 3} \right)}} = \dfrac{{4\sqrt 3 }}{{ - 6}} \Rightarrow \boxed{A =  - \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}}.

δ) Με x \in {A_f} \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{2} \leqslant x \leqslant 1 \Rightarrow  - \dfrac{1}{2} - 5 \leqslant x - 5 \leqslant 1 - 5 \Rightarrow \ldots g\left( x \right) \leqslant  - 4 < 0 \leqslant f\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) \ne g\left( x \right) \Rightarrow {C_f},{C_g} δεν τέμνονται.


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
pana1333
Δημοσιεύσεις: 1028
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Re: Για τις εξετάσεις...

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #7 από pana1333 » Σάβ Μάιος 04, 2013 9:23 pm

Δίνω και εγώ μια δική μου....και καλή ανάσταση

ΘΕΜΑ 4ο

Δίνεται η εξίσωση δευτέρου βαθμού x^{2}-40\left|a_{1} \right|x+2\left|\lambda  \right|=0 (1) όπου a_{1},\lambda \neq 0 ο πρώτος όρος και ο λόγος αντίστοιχα μιας γεωμετρικής προόδου. Αν οι αριθμοί x_{1},\lambda ,x_{2} με x_{1},x_{2} ρίζες τις (1) αποτελούν διαδοχικούς όρους της γεωμετρικής προόδου να βρεθούν οι αριθμοί \lambda και a_{1}.


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
Άβαταρ μέλους
alexandropoulos
Δημοσιεύσεις: 357
Εγγραφή: Παρ Απρ 03, 2009 8:30 pm
Τοποθεσία: ΠΙΚΕΡΜΙ
Επικοινωνία:

Re: Για τις εξετάσεις...

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #8 από alexandropoulos » Τρί Μάιος 07, 2013 2:51 pm

ΘΕΜΑ 5
Έστω η συνάρτηση f με \displaystyle{f(x) = x^2  + (\kappa  - 3)x - \kappa  + 2}.
Αν η γραφική παράσταση της f έχει άξονα συμμετρίας την x = 2, τότε:
α) Να βρεθεί το \kappa
β) Να βρεθούν τα κοινά σημεία της \displaystyle{C_f } με τον x'x.
γ) Να βρεθεί το ακρότατο της f


...ΤΗΝ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΙΑ ΠΟΥ ΧΑΝΕΙΣ
Άβαταρ μέλους
alexandropoulos
Δημοσιεύσεις: 357
Εγγραφή: Παρ Απρ 03, 2009 8:30 pm
Τοποθεσία: ΠΙΚΕΡΜΙ
Επικοινωνία:

Re: Για τις εξετάσεις...

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #9 από alexandropoulos » Τρί Μάιος 07, 2013 2:59 pm

ΘΕΜΑ 6
Έστω η συνάρτηση f με \displaystyle{f(x) =  - x^2  - (\lambda  - 1)x + \lambda  + 2,{\kern 1pt}
{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \lambda  \in
{\Cal R}}
α) Να προσδιορίσετε τις τιμές ώστε η γραφική παράσταση της fνα έχει δύο κοινά σημεία με τον x΄x
β) Αν \displaystyle{x_{1,} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x_2 } είναι οι τετμημένες των σημείων τομής της C_f με τον άξονα x'x να προσδιορίσετε την τιμή του λ ώστε το \displaystyle{x_1^2  + x_2^2 } να γίνεται ελάχιστο


...ΤΗΝ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΙΑ ΠΟΥ ΧΑΝΕΙΣ
Άβαταρ μέλους
alexandropoulos
Δημοσιεύσεις: 357
Εγγραφή: Παρ Απρ 03, 2009 8:30 pm
Τοποθεσία: ΠΙΚΕΡΜΙ
Επικοινωνία:

Re: Για τις εξετάσεις...

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #10 από alexandropoulos » Τρί Μάιος 07, 2013 3:07 pm

ΘΕΜΑ 7
Δίνεται συνάρτηση f με f\left( x \right) = x^3  + 3x^2.
α. Να προσδιορίσετε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες .
β. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τον άξονα των τετμημένων.
γ. Αν το σημείο {\rm A} ανήκει στη γραφική παράσταση της f να εξετάσετε τη σχετική θέση του ως προς τη γραφική παράσταση της
συνάρτησης g με g\left( x \right) = x^3  + 3x^2  - 5


...ΤΗΝ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΙΑ ΠΟΥ ΧΑΝΕΙΣ
Άβαταρ μέλους
alexandropoulos
Δημοσιεύσεις: 357
Εγγραφή: Παρ Απρ 03, 2009 8:30 pm
Τοποθεσία: ΠΙΚΕΡΜΙ
Επικοινωνία:

Re: Για τις εξετάσεις...

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #11 από alexandropoulos » Τρί Μάιος 07, 2013 3:49 pm

ΘΕΜΑ 8
Δίνεται συνάρτηση f με f\left( x \right) = 3x^2  + 8\left( {\kappa  - 3} \right)x + 5\left( {\lambda  - 2} \right), \kappa ,\lambda  \in {\Cal R}.
α. Να προσδιορίσετε τους \kappa ,\lambda έτσι, ώστε το {\rm O}\left( {0,0} \right) να είναι το μοναδικό κοινό σημείο της γραφικής παράστασης της f
με τους άξονες.
β. Για τις τιμές των \kappa ,\lambda του (α) ερωτήματος, να προσδιορίσετε την τιμή του \mu  \in {\Cal R} ώστε η ευθεία y = \left( {\mu  - 3} \right)x + 10
να εφάπτεται στην γραφική παράσταση της f


...ΤΗΝ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΙΑ ΠΟΥ ΧΑΝΕΙΣ
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1345
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Για τις εξετάσεις...

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #12 από BAGGP93 » Τρί Μάιος 07, 2013 4:27 pm

pana1333 έγραψε:Δίνω και εγώ μια δική μου....και καλή ανάσταση

ΘΕΜΑ 4ο

Δίνεται η εξίσωση δευτέρου βαθμού x^{2}-40\left|a_{1} \right|x+2\left|\lambda  \right|=0 (1) όπου a_{1},\lambda \neq 0 ο πρώτος όρος και ο λόγος αντίστοιχα μιας γεωμετρικής προόδου. Αν οι αριθμοί x_{1},\lambda ,x_{2} με x_{1},x_{2} ρίζες τις (1) αποτελούν διαδοχικούς όρους της γεωμετρικής προόδου να βρεθούν οι αριθμοί \lambda και a_{1}.


Λύση.

\displaystyle{x^2-40\left|a_{1}\right|x+2\left|\lambda\right|=0\Leftrightarrow \left(x-20\left|a_{1}\right|\right)^2=400a_{1}^2-2\left|\lambda\right|}

Για να έχει η εξίσωση αυτή δύο πραγματικές λύσεις, θα πρέπει \displaystyle{400a_{1}^2-2\left|\lambda\right|>0\Leftrightarrow \left|\lambda\right|<200a_{1}^2(\ast)}

Έστω ότι οι αριθμοί \displaystyle{x_1,\lambda,x_2} αποτελούν διαδοχικούς ορούς της γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο \displaystyle{a_{1}} και λόγο \displaystyle{\lambda}.

Από τους τύπους Vieta έχουμε \displaystyle{x_1+x_2=40\left|a_{1}\right|>0} και \displaystyle{x_1\cdot x_2=2\left|\lambda\right|>0}.

Τότε, \displaystyle{\lambda^2=x_1\cdot x_2} και σύμφωνα με τους τύπους Vieta, παίρνουμε

\displaystyle{\lambda^2=2\left|\lambda\right|\Rightarrow \left|\lambda\right|\left(\left|\lambda\right|-2\right)=0\Rightarrow \lambda=2\ \lor \lambda=-2}

Αν \displaystyle{\lambda=-2} τότε,

\displaystyle{\lambda=\lambda\cdot x_1\Rightarrow -2=-2x_1\Rightarrow x_1=1} και επιπλέον

\displaystyle{x_1\cdot x_2=\lambda^2\Rightarrow x_2=4}.

Άρα, \displaystyle{x_1+x_2=40\left|a_{1}\right|\Rightarrow 40\left|a_{1}\right|=5\Rightarrow \left|a_{1}\right|=\frac{1}{8}\Rightarrow a_{1}=\frac{1}{8}\ \lor a_{1}=-\frac{1}{8}}

Αν ήταν \displaystyle{a_{1}=\frac{1}{8}>0}, τότε για τον τέταρτο όρο της προόδου, που είναι ο \displaystyle{x_1}, θα ίσχυε

\displaystyle{a_{4}=a_{1}\lambda^{4-1}\Rightarrow 1=\frac{1}{8}(-2)^3=-1}, άτοπο.

Επομένως \displaystyle{a_{1}=-\frac{1}{8}}.

Αν \displaystyle{\lambda=2}, με την ίδια διαδικασία, βρίσκουμε \displaystyle{a_{1}=\frac{1}{8}}.

Παρατήρηση.

Τα ζεύγη \displaystyle{\left(a_{1},\lambda\right)=\left(-\frac{1}{8},-2\right)} και \displaystyle{\left(a_{1},\lambda\right)=\left(\frac{1}{8},2\right)}

ικανοποιούν την \displaystyle{(\ast)}.


Παπαπέτρος Ευάγγελος
Theoxaris Malamidis
Δημοσιεύσεις: 254
Εγγραφή: Σάβ Σεπ 01, 2012 7:25 pm

Re: Για τις εξετάσεις...

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #13 από Theoxaris Malamidis » Τρί Μάιος 07, 2013 7:02 pm

alexandropoulos έγραψε:ΘΕΜΑ 5
Έστω η συνάρτηση f με \displaystyle{f(x) = x^2  + (\kappa  - 3)x - \kappa  + 2}.
Αν η γραφική παράσταση της f έχει άξονα συμμετρίας την x = 2, τότε:
α) Να βρεθεί το \kappa
β) Να βρεθούν τα κοινά σημεία της \displaystyle{C_f } με τον x'x.
γ) Να βρεθεί το ακρότατο της f

α) \displaystyle x=-\frac{b}{2a}\Leftrightarrow 2=\frac{-k+3}{2}\Leftrightarrow k=-1

β)\displaystyle f(x)=0\Leftrightarrow x^{2}-4x+3=0\Leftrightarrow (x-3)(x-1)=0

γ)Απο τη θεωρία γνωρίζουμε ότι όταν \displaystyle a>0 η παραβολή παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο σημείο
\displaystyle (-\frac{b}{2a},-\frac{D}{4a})=(2,-1)


Today i will do what others won't
so tomorrow i can do what others cant !
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2771
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Για τις εξετάσεις...

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #14 από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Σάβ Μάιος 11, 2013 3:18 pm

alexandropoulos έγραψε:ΘΕΜΑ 6
Έστω η συνάρτηση f με \displaystyle{f(x) =  - x^2  - (\lambda  - 1)x + \lambda  + 2,{\kern 1pt}
{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \lambda  \in
{\Cal R}}
α) Να προσδιορίσετε τις τιμές ώστε η γραφική παράσταση της fνα έχει δύο κοινά σημεία με τον x΄x
β) Αν \displaystyle{x_{1,} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x_2 } είναι οι τετμημένες των σημείων τομής της C_f με τον άξονα x'x να προσδιορίσετε την τιμή του λ ώστε το \displaystyle{x_1^2  + x_2^2 } να γίνεται ελάχιστο


α) Η f είναι συνάρτηση δευτέρου βαθμού, οπότε η C_f τέμνει τον άξονα x'x σε δύο σημεία, όταν η εξίσωση f(x)=0
έχει δύο ρίζες, οπότε όταν η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι θετική.

Συνεπώς:
\displaystyle{[-(\lambda-1)]^2-4(-1)(\lambda+2) >0 \Leftrightarrrow \lambda^2-2\lambda+1+4\lambda+8>0 \Leftrightarrow \lambda^2+2\lambda+9>0},

η οποία ισχύει για κάθε \lambda \in \mathbb{R}, αφού έχει αρνητική διακρίνουσα (2^2-4 \cdot9=-32<0).

β) Έχουμε ότι: x_1+x_2=1-\lambda, x_1x_2=-\lambda-2,

οπότε: x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(1-\lambda)^2-2(-\lambda-2)=\lambda^2-2\lambda+1+2\lambda+4=\lambda^2+5,

η οποία παρουσιάζει ελάχιστο για \lambda=0 το 5.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2771
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Για τις εξετάσεις...

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #15 από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Σάβ Μάιος 11, 2013 7:17 pm

alexandropoulos έγραψε:ΘΕΜΑ 7
Δίνεται συνάρτηση f με f\left( x \right) = x^3  + 3x^2.
α. Να προσδιορίσετε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες .
β. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τον άξονα των τετμημένων.
γ. Αν το σημείο {\rm A} ανήκει στη γραφική παράσταση της f να εξετάσετε τη σχετική θέση του ως προς τη γραφική παράσταση της
συνάρτησης g με g\left( x \right) = x^3  + 3x^2  - 5


α. Η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο \mathbb{R}.
Οι τετμημένες των σημείων της C_f που ανήκουν στον x'x είναι οι λύσεις της εξίσωσης f(x)=0.
Συνεπώς: f(x)=0 \Leftrightarrow x^3+3x^2=0 \Leftrightarrow x^2(x+3)=0 \Leftrightarrow x^2=0 ή x+3=0 \Leftrightarrow x=0 ή x=-3,
δηλαδή τα σημεία τομής της C_f με τον x'x είναι τα A(0,0),B(-3,0).

β. Η C_f βρίσκεται κάτω από τον άξονα των τετμημένων (x'x) όταν
f(x)<0 \Leftrightarrow x^3+3x^2<0 \Leftrightarrow x^2(x+3)<0 \Leftrightarrow x+3<0 \Leftrightarrow x<-3 \Leftrightarrow x \in (-\infty,-3).

γ. Η συνάρτηση g είναι ορισμένη στο \mathbb{R}.
Προφανώς ισχύει f(x)>g(x) για κάθε x \in \mathbb{R}, οπότε η C_f είναι πάνω από την C_g.

Υ.Γ. Νομίζω ότι είναι αυτό το ζητούμενο του γ ερωτήματος και λόγω τυπογραφικού ζητείται η σχετική θέση του A ως προς τη C_g.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2771
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Για τις εξετάσεις...

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #16 από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Σάβ Μάιος 11, 2013 7:38 pm

alexandropoulos έγραψε:ΘΕΜΑ 8
Δίνεται συνάρτηση f με f\left( x \right) = 3x^2  + 8\left( {\kappa  - 3} \right)x + 5\left( {\lambda  - 2} \right), \kappa ,\lambda  \in {\Cal R}.
α. Να προσδιορίσετε τους \kappa ,\lambda έτσι, ώστε το {\rm O}\left( {0,0} \right) να είναι το μοναδικό κοινό σημείο της γραφικής παράστασης της f
με τους άξονες.
β. Για τις τιμές των \kappa ,\lambda του (α) ερωτήματος, να προσδιορίσετε την τιμή του \mu  \in {\Cal R} ώστε η ευθεία y = \left( {\mu  - 3} \right)x + 10
να εφάπτεται στην γραφική παράσταση της f


α. Η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο \mathbb{R}.
Πρέπει να ισχύει f(0)=0 και η εξίσωση f(x)=0 να έχει μοναδική λύση.
Τότε:
f(0)=0 \Leftrightarrow \lambda=2,
οπότε f(x)=3x^2  + 8\left( {\kappa  - 3} \right)x.

H εξίσωση f(x)=0 έχει μοναδική λύση, όταν η διακρίνουσα είναι 0,
δηλαδή όταν \kappa=3.

Συνεπώς f(x)=3x^2.

β. Η ευθεία με εξίσωση y = \left( {\mu  - 3} \right)x + 10
εφάπτεται στην γραφική παράσταση της f,
όταν η εξίσωση 3x^2=\left( {\mu  - 3} \right)x + 10 \Leftrightarrow -3x^2+\left( {\mu  - 3} \right)x + 10=0
έχει μοναδική λύση, δηλαδή όταν η διακρίνουσά της είναι ίση με μηδέν.

Συνεπώς: \displaystyle{(\mu-3)^2-4(-3)\cdot10=0 \Leftrightarrow \mu^2-6\mu+129=0},
η οποία είναι αδύνατη, άρα δεν υπάρχει τιμή του \mu ώστε η δοσμένη ευθεία να εφάπτεται στην C_f.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2771
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Για τις εξετάσεις...

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #17 από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Σάβ Μάιος 11, 2013 7:50 pm

Θέμα 9ο

Δίνονται οι συναρτήσεις f,g με τύπους \displaystyle{f(x)=5x^2+4x+3,g(x)=\sqrt{f(x)-12}}
και η παράσταση A=|a-b|+|b-c|, όπου a,b,c \in \mathbb{R} με a>b>c.

α) Να αποδείξετε ότι η παράσταση Α είναι ανεξάρτητη του b.

β) Να λυθεί η εξίσωση \displaystyle{A(x^2-1)=(a^2-c^2)x-a+c}.

γ) Να αποδείξετε ότι f(A)>0.

δ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g.

ε) Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων στα οποία η C_f τέμνει την ευθεία με εξίσωση y=5.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
Άβαταρ μέλους
Πρωτοπαπάς Λευτέρης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2771
Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Για τις εξετάσεις...

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #18 από Πρωτοπαπάς Λευτέρης » Σάβ Μάιος 11, 2013 8:05 pm

Θέμα 10ο

Δίνεται η παράσταση \displaystyle{A=\frac{-\sqrt{12}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{-\sqrt{12}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}},

η εξίσωση \displaystyle{\frac{|B-2|}{3}+\frac{|2-B|}{6}=\frac{5B-10}{2}-1} με B>1

και οι ευθείες \epsilon,\zeta με εξισώσεις \displaystyle{y=(|k-A|-1)x,y=(\lambda^5+20)x+10}, όπου \displaystyle{k,\lambda \in \mathbb{R}}.

α) Να αποδείξετε ότι A=-12.

β) Να λύσετε την δοσμένη εξίσωση.

γ) Να βρείτε την τιμής του \lambda για την οποία η κλίση της ευθείας \zeta είναι ίση με A.

δ) Να βρείτε τις τιμές του k ώστε η ευθεία \epsilon να σχηματίζει αμβλεία γωνία με τον άξονα x'x.

ε) Για το \lambda του (γ) ερωτήματος, να λύσετε την εξίσωση \displaystyle{(3+\lambda)x^4+(2B-4)x^2+A=0}.

edit: Διορθώθηκε ο δεύτερος παρονομαστής της παράστασης Α και συμπληρώθηκε το x στην ευθεία ε.
τελευταία επεξεργασία από Πρωτοπαπάς Λευτέρης σε Σάβ Μάιος 11, 2013 11:21 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1345
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Για τις εξετάσεις...

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #19 από BAGGP93 » Σάβ Μάιος 11, 2013 8:28 pm

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:Θέμα 9ο

Δίνονται οι συναρτήσεις f,g με τύπους \displaystyle{f(x)=5x^2+4x+3,g(x)=\sqrt{f(x)-12}}
και η παράσταση A=|a-b|+|b-c|, όπου a,b,c \in \mathbb{R} με a>b>c.

α) Να αποδείξετε ότι η παράσταση Α είναι ανεξάρτητη του b.

β) Να λυθεί η εξίσωση \displaystyle{A(x^2-1)=(a^2-c^2)x-a+c}.

γ) Να αποδείξετε ότι f(A)>0.

δ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g.

ε) Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων στα οποία η C_f τέμνει την ευθεία με εξίσωση y=5.


Καλησπέρα κύριε Πρωτοπαπά.

Λύση.

α)Εφόσον \displaystyle{a>b>c} είναι \displaystyle{A=a-b+b-c=a-c}

β)\displaystyle{A(x^2-1)=(a^2-c^2)x-a+c\Rightarrow Ax^2-A=(a-c)(a+c)x-(a-c)\Rightarrow (a-c)x^2-(a-c)(a+c)x=0}.

Επειδή \displaystyle{a-c>0} έχουμε να λύσουμε ισοδύναμα την εξίσωση

\displaystyle{x^2-(a+c)x=0} της οποίας λύσεις αποτελούν οι \displaystyle{x=0,a+c}

γ)Για κάθε \displaystyle{x\in\mathbb{R}} είναι \displaystyle{f(x)=(2x+1)^2+(x^2+2)>0}

Συνεπώς, \displaystyle{f\left(A\right)>0}.

δ)Αναζητούμε τις λύσεις της ανίσωσης \displaystyle{f(x)-12\geq 0\Leftrightarrow f(x)\geq 12}.

Έχουμε

\displaystyle{f(x)\geq 12\Leftrightarrow 5x^2+4x-9\geq 0\Leftrightarrow x^2+\frac{4}{5}x-\frac{9}{5}\geq 0\Leftrightarrow \left(x+\frac{2}{5}\right)^2\geq \frac{49}{25}.

Έτσι,

\displaystyle{x+\frac{2}{5}\geq \frac{7}{5}} ή \displaystyle{x+\frac{2}{5}\leq -\frac{7}{5}}

δηλαδή

\displaystyle{x\geq 1} ή \displaystyle{x\leq -\frac{9}{5}}.

\displaystyle{D(g)=\left(-\infty,-\frac{9}{5}\right]\cup\left[1,+\infty\right]}

ε)Οι ζητούμενες τετμημένες θα βρεθούν από τις λύσεις της εξίσωσης \displaystyle{f(x)=5}.Είναι,

\displaystyle{f(x)=5\Rightarrow 5x^2+4x+3=5\Rightarrow 5x^2+4x-2=0\Rightarrow 5\left(x+\frac{2-\sqrt{14}}{5}\right)\left(x+\frac{2+\sqrt{14}}{5}\right)=0\Rightarrow x=\frac{\sqrt{14}-2}{5}\ \lor x=-\frac{2+\sqrt{14}}{5}}


Παπαπέτρος Ευάγγελος
gavrilos
Δημοσιεύσεις: 1021
Εγγραφή: Παρ Δεκ 07, 2012 4:11 pm

Re: Για τις εξετάσεις...

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #20 από gavrilos » Σάβ Μάιος 11, 2013 10:31 pm

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:Θέμα 10ο

Δίνεται η παράσταση \displaystyle{A=\frac{-\sqrt{12}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{-\sqrt{12}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}},

η εξίσωση \displaystyle{\frac{|B-2|}{3}+\frac{|2-B|}{6}=\frac{5B-10}{2}-1} με B>1

και οι ευθείες \epsilon,\zeta με εξισώσεις \displaystyle{y=(|k-A|-1)x,y=(\lambda^5+20)x+10}, όπου \displaystyle{k,\lambda \in \mathbb{R}}.

α) Να αποδείξετε ότι A=-12.

β) Να λύσετε την δοσμένη εξίσωση.

γ) Να βρείτε την τιμής του \lambda για την οποία η κλίση της ευθείας \zeta είναι ίση με A.

δ) Να βρείτε τις τιμές του k ώστε η ευθεία \epsilon να σχηματίζει αμβλεία γωνία με τον άξονα x'x.

ε) Για το \lambda του (γ) ερωτήματος, να λύσετε την εξίσωση \displaystyle{(3+\lambda)x^4+(2B-4)x^2+A=0}.

edit: Διορθώθηκε ο δεύτερος παρονομαστής της παράστασης Α και συμπληρώθηκε το x στην ευθεία ε.


α) Πολλαπλασιάζουμε το κάθε κλάσμα με την συζυγή παράσταση του παρονομαστή του και έχουμε

\displaystyle{A=-\sqrt{12}(\sqrt{3}-\sqrt{2})-\sqrt{12}(\sqrt{3}+\sqrt{2})=-6+\sqrt{24}-6-\sqrt{24}=-12}.

β) Επειδή οι αντίθετοι αριθμοί έχουν ίσες απόλυτες τιμές η εξίσωση θα γίνει

\displaystyle{\frac{|B-2|}{3}+\frac{|B-2|}{6}=\frac{5B-10}{2}-1 \Leftrightarrow 2|B-2|+|B-2|=15B-36 \Leftrightarrow 3|B-2|=15B-36}.

Αν \displaystyle{B\geq 2} θα έχουμε \displaystyle{3B-6=15B-36 \Leftrightarrow B=2,5}.

Αν \displaystyle{B<2} θα ισχύει \displaystyle{6-3B=15B-36 \Leftrightarrow B=\frac{7}{3}} άτοπο.

γ)Θα πρέπει \displaystyle{\lambda ^5+20=-12 \Leftrightarrow \lambda=-2}.

δ)Πρέπει \displaystyle{|k+12|-1<0 \Leftrightarrow -13<k<-11}.

ε) Η εξίσωση γίνεται \displaystyle{x^{4}+x^{2}-12=0 \Leftrightarrow \Delta =49 \Leftrightarrow x^{2}_1=\frac{-1+7}{2}=3 \ , \ x^{2}_2=\frac{-1-7}{2}=-4} λύσεις από τις οποίες η πρώτη είναι δεκτή καθώς στην κλίμακα των πραγματικών αριθμών δεν υπάρχουν αρνητικά τετράγωνα.Συνεπώς οι λύσεις της εξίσωσης είναι οι \displaystyle{x_1=\sqrt{3} \ , \ x_2=-\sqrt{3}}.

Για μένα πολύ ωραία άσκηση με πλούσια ερωτήματα.Ωραία για 4ο θέμα στην Α' Λυκείου.
τελευταία επεξεργασία από gavrilos σε Σάβ Μάιος 11, 2013 11:25 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Αν τα γεγονότα δεν συμφωνούν με τη θεωρία, τότε αλίμονο στα γεγονότα.

Albert Einstein

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης