Ένα διαγώνισμα στις εξισώσεις

#1

Πρόκειται για ένα διαγώνισμα που δόθηκε συγχρόνως σε δύο τμήματα του σχολείου μας (που διδάσκει ο Σωτήρης Χασάπης και εγώ) στις 17-01-2013.

Θέμα 1
Να λύσετε την εξίσωση:
$x^{2}+\left( a+y\right) x+ay=0\,\,\,\,\,\,(1)$
1) Ως προς

όταν

και

.
2) Ως προς

όταν οι

και

είναι τυχόντες πραγματικοί αριθμοί.
3) Ως προς

όταν οι

και

είναι τυχόντες πραγματικοί αριθμοί.
Θέμα 2
Δίνεται η εξίσωση
$\left( x-p\right) \left( x-q\right) =1\,\,\,\,\,\,(2)$
() με άγνωστο τον

.
1) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (2) έχει δύο άνισες ρίζες x_1

,

.
2) Να αποδείξετε ότι για τις ρίζες x_1

,

της (2) ισχύει:
$\displaystyle{\left( x_{1}-p\right) \left( x_{2}-p\right) \left( x_{1}-q\right) \left( x_{2}-q\right) \neq 0.}$
3) Να αποδείξετε ότι αν οι ρίζες x_1

,

της (2) είναι αντίστροφες τότε $p+q\geq 2\sqrt{2}$ .

Μαυρογιάννης

Γιώργος Απόκης · #2

nsmavrogiannis έγραψε: Θέμα 1
Να λύσετε την εξίσωση:
$x^{2}+\left( a+y\right) x+ay=0\,\,\,\,\,\,(1)$
1) Ως προς όταν και .
2) Ως προς όταν οι και είναι τυχόντες πραγματικοί αριθμοί.
3) Ως προς όταν οι και είναι τυχόντες πραγματικοί αριθμοί.

1) Για $\displaystyle{a=2,y=-1}$ η εξίσωση γίνεται $\displaystyle{x^2+x-2=0}$ με $\displaystyle{\Delta=9}$ και ρίζες $\displaystyle{1,~-2}$

2) H εξίσωση είναι δευτέρου βαθμού με $\displaystyle{\Delta=(a+y)^2-4ay=a^2+y^2-2ay=(a-y)^2\geq 0}$

$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{a=y}$ τότε $\displaystyle{\Delta=0}$ και η εξίσωση έχει (διπλή) ρίζα $\displaystyle{x=-\frac{a+y}{2}=-a}$

$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{a\ne y}$ τότε $\displaystyle{\Delta>0}$ και η εξίσωση έχει ρίζες $\displaystyle{x=\frac{-(a+y)\pm(a-y)}{2}}$ δηλαδή $\displaystyle{-a,~-y}$

3) Έχουμε $\displaystyle{x^2+ax+yx+ay=0\Leftrightarrow (x+a)y=-x^2-ax\Leftrightarrow (x+a)y=-x(x+a)}$

$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{x=-a}$ η εξίσωση γίνεται $\displaystyle{0y=0\Leftrightarrow y\in\mathbb R}$

$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{x \ne -a}$ η εξίσωση έχει μοναδική λύση $\displaystyle{y=\frac{-x(x+a)}{x+a}=-x}$

#3

nsmavrogiannis έγραψε:Πρόκειται για ένα διαγώνισμα που δόθηκε συγχρόνως σε δύο τμήματα του σχολείου μας (που διδάσκει ο Σωτήρης Χασάπης και εγώ) στις 17-01-2013.

Θέμα 1
Να λύσετε την εξίσωση:
$x^{2}+\left( a+y\right) x+ay=0\,\,\,\,\,\,(1)$
1) Ως προς όταν και .
2) Ως προς όταν οι και είναι τυχόντες πραγματικοί αριθμοί.
3) Ως προς όταν οι και είναι τυχόντες πραγματικοί αριθμοί.

Καλημέρα.

1) Για a=2,y=-1

, η εξίσωση (1)

γράφεται:
$\displaystyle{{x^2} + x - 2 = 0}$ που έχει ρίζες x_1=1

,

2) Η εξίσωση γράφεται:

$\displaystyle{{x^2} + ax + xy + ay = 0 \Leftrightarrow x(x + a) + y(x + a) = 0 \Leftrightarrow (x + a)(x + y) = 0}$ , απ' όπου έχουμε x=-a

ή

.

3) $\displaystyle{(x + a)(x + y) = 0}$

α) Αν $\displaystyle{x + a \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - a}$ , τότε $\displaystyle{y = - x}$

β) Αν $\displaystyle{x + a = 0 \Leftrightarrow x = - a}$ , τότε η εξίσωση αληθεύει για κάθε πραγματική τιμή του

.

Christos.N · #4

nsmavrogiannis έγραψε:Πρόκειται για ένα διαγώνισμα που δόθηκε συγχρόνως σε δύο τμήματα του σχολείου μας (που διδάσκει ο Σωτήρης Χασάπης και εγώ) στις 17-01-2013.
Θέμα 1
Να λύσετε την εξίσωση:
$x^{2}+\left( a+y\right) x+ay=0\,\,\,\,\,\,(1)$
1) Ως προς όταν και .
2) Ως προς όταν οι και είναι τυχόντες πραγματικοί αριθμοί.
3) Ως προς όταν οι και είναι τυχόντες πραγματικοί αριθμοί.

1) $\displaystyle{ x^2 + (a + y)x + ay = 0 \Rightarrow (x + a)(x + y) = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - a = - 2 \\ x = - y = 1 \\ \end{array} \right. }$

2) $\displaystyle{ x^2 + (a + y)x + ay = 0 \Rightarrow (x + a)(x + y) = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - a \\ x = - y \\ \end{array} \right. }$

όπου συμπληρώνουμε ότι αν $\displaystyle{a = y}$ πρόκειται για διπλή ρίζα, ενώ θα έχουμε δύο διακεκριμένες σε κάθε άλλη περίπτωση.
(Μου κάνει όμως κάποια εντύπωση)

3) $\displaystyle{ x^2 + (a + y)x + ay = 0 \Rightarrow (x + a)y = - x(x + a) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + a = 0 \Rightarrow \,0y = 0\,\,\alpha \dot o\rho \iota \sigma \tau \eta \\ x + a \ne 0 \Rightarrow y = - x \\ \end{array} \right. }$

Θέμα 2
Δίνεται η εξίσωση
$\left( x-p\right) \left( x-q\right) =1\,\,\,\,\,\,(2)$
με άγνωστο τον .
1) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (2) έχει δύο άνισες ρίζες , .
2) Να αποδείξετε ότι για τις ρίζες , της (2) ισχύει:
$\displaystyle{\left( x_{1}-p\right) \left( x_{2}-p\right) \left( x_{1}-q\right) \left( x_{2}-q\right) \neq 0.}$
3) Να αποδείξετε ότι αν οι ρίζες , της (2) είναι αντίστροφες τότε $p+q\geq 2\sqrt{2}$ .

1) $\displaystyle{ (x - p)(x - q) = 1 \Rightarrow \begin{array}{*{20}c} {x^2 - (p + q)x + pq - 1 = 0} \\ {D_x = (p + q)^2 - 4pq + 4 = (p - q)^2 + 4 > 0} \\ \end{array} }$

Άρα η εξίσωση έχει δύο άνισες ρίζες x_1

,

ανεξάρτητα από την επιλογή των παραμέτρων p,q

.

2) $\displaystyle{ (x - p)(x - q) = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = x_1 ,\,\,(x_1 - p)(x_1 - q) = 1 \\ x = x_2 ,\,\,(x_2 - p)(x_2 - q) = 1 \\ \end{array} \right. \Rightarrow (x_1 - p)(x_1 - q)(x_2 - p)(x_2 - q) = 1 \ne 0 }$

Υ.Γ.:

Θέμα 2
Δίνεται η εξίσωση
$\left( x-p\right) \left( x-q\right) =1\,\,\,\,\,\,(2)$
() με άγνωστο τον .
3) Να αποδείξετε ότι αν οι ρίζες , της (2) είναι αντίστροφες τότε $p+q\geq 2\sqrt{2}$

3)
$\displaystyle{ \begin{array}{l} x_1 x_2 = 1\mathop \Rightarrow \limits^{Vieta} pq - 1 = 1 \Rightarrow pq = 2 \\ \\ \left( {\sqrt p - \sqrt q } \right)^2 \ge 0 \Rightarrow p + q \ge 2\sqrt {pq} \Rightarrow p + q > 2\sqrt 2 \\ \end{array} }$

#5

nsmavrogiannis έγραψε:Πρόκειται για ένα διαγώνισμα που δόθηκε συγχρόνως σε δύο τμήματα του σχολείου μας (που διδάσκει ο Σωτήρης Χασάπης και εγώ) στις 17-01-2013.

Θέμα 2
Δίνεται η εξίσωση
$\left( x-p\right) \left( x-q\right) =1\,\,\,\,\,\,(2)$
με άγνωστο τον .
1) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (2) έχει δύο άνισες ρίζες , .
2) Να αποδείξετε ότι για τις ρίζες , της (2) ισχύει:
$\displaystyle{\left( x_{1}-p\right) \left( x_{2}-p\right) \left( x_{1}-q\right) \left( x_{2}-q\right) \neq 0.}$
3) Να αποδείξετε ότι αν οι ρίζες , της (2) είναι αντίστροφες τότε $p+q\geq 2\sqrt{2}$ .

Μαυρογιάννης

1) $\displaystyle{{x^2} - (p + q)x + pq - 1 = 0}$

Η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι $\displaystyle{\Delta = {(p + q)^2} - 4pq + 4 = {(p - q)^2} + 4 > 0}$ , άρα η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.

2) Αφού x_1, x_2

είναι ρίζες της εξίσωσης (2)

, θα είναι:

$\displaystyle{\left( {{x_1} - p} \right)\left( {{x_1} - q} \right) = 1}$ και $\displaystyle{\left( {{x_2} - p} \right)\left( {{x_2} - q} \right) = 1}$ .

Άρα $\displaystyle{\left( {{x_1} - p} \right)\left( {{x_1} - q} \right)\left( {{x_2} - p} \right)\left( {{x_2} - q} \right) = 1 \ne 0}$

3) Αφού οι ρίζες είναι αντίστροφες x_1x_2=1

.
Αλλά $\displaystyle{{x_1}{x_2} = pq - 1 \Leftrightarrow pq = 2}$ .

$\displaystyle{{p^2} + {q^2} \ge 2pq \Leftrightarrow {(p + q)^2} \ge 4pq\mathop \Leftrightarrow \limits^{p,q > 0} p + q \ge 2\sqrt {pq} \Leftrightarrow p + q \ge 2\sqrt 2 }$

Πολύ ωραία θέματα.
Θα ήθελα να μάθω πώς έγραψαν τα παιδιά.

Ένα διαγώνισμα στις εξισώσεις

Ένα διαγώνισμα στις εξισώσεις

Re: Ένα διαγώνισμα στις εξισώσεις

Re: Ένα διαγώνισμα στις εξισώσεις

Re: Ένα διαγώνισμα στις εξισώσεις

Re: Ένα διαγώνισμα στις εξισώσεις

Μέλη σε σύνδεση