ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Stavroulitsa · #61

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Άσκηση 12
Δίνεται η εξίσωση - |μ – 4|x - |4 – μ |=0 , όπου μ∈R-{4}.

Α. Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε τιμή μ∈R-{4}.
Β. Αν , είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης να δείξετε ότι:
+ + > 0

Θα προσπαθήσω να τη λύσω και αυτή αλλά ελπίζω να μην κάνω πάλι λάθη...
A. Παίρνουμε 2 περιπτώσεις
1. μ>4 και η εξίσωση γίνεται $x^2-\left|\mu -4 \right|x-\left|4-\mu \right|=0\Leftrightarrow x^2-\left(\mu -4 \right)x-\left(\mu -4 \right)=0$ και $\Delta =\left(\mu -4 \right)^2+4\left(\mu -4 \right)=\mu \left(\mu -4 \right)> 0$
2. μ<4 και η εξίσωση γίνεται $x^2-\left|\mu -4 \right|x-\left|4-\mu \right|=0\Leftrightarrow x^2-\left(4-\mu \right)x-\left(4-\mu \right)$ και $\Delta =\left(4-\mu \right)^2+4\left(4-\mu \right)=\left(4-\mu \right)\left(8-\mu \right)$
άρα και στις 2 περιπτώσεις έχουμε Δ>0 άρα και άνισες, πραγματικές ρίζες

Ιστοσελίδα · #62

ΑΣΚΗΣΗ 26

Nα λυθεί η εξίσωση

$\displaystyle{ x^2 - \Delta \cdot x + 2\Delta = 0 }$

όπου Δ η διακρίνουσά της.

mathxl · #63

spyrosk έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 26

Nα λυθεί η εξίσωση

$\displaystyle{ x^2 - \Delta \cdot x + 2\Delta = 0 }$

όπου Δ η διακρίνουσά της.

Eίναι
$\Delta = {\Delta ^2} - 8\Delta \Leftrightarrow {\Delta ^2} - 9\Delta = 0 \Leftrightarrow \Delta = 0 \vee \Delta = 9$
- Αν Δ = 0 τότε με αντικατάσταση στην εξίσωση ${x^2} - 0x + 2 \cdot 0 = 0 \Leftrightarrow x = 0$
διπλή λύση
- Αν Δ = 9 τότε με αντικατάσταση στην εξίσωση ${x^2} - 9x + 18 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{9 \pm \sqrt 9 }}{2} \Leftrightarrow x = 6 \vee x = 3$
δύο πραγματικές και άνισες λύσεις

Ιστοσελίδα · #64

ΑΣΚΗΣΗ 27

Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle{ {\rm x}^{\rm 2} - 6\lambda x + 9\lambda ^2 - 1 = 0 }$
i) Να λυθεί η εξίσωση
ii) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ ώστε οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης να ανήκουν στο διάστημα [0, 3)

mathxl · #65

1) Είναι $\displaystyle{{{\rm{x}}^{\rm{2}}} - 6\lambda x + 9{\lambda ^2} - 1 = 0,\Delta = 36{\lambda ^2} - 4\left( {9{\lambda ^2} - 1} \right) = 4 > 0}$
άρα η εξίσωση μας, έχει δύο λύσεις, πραγματικές και άνισες, οι οποίες είναι
$\displaystyle{x = \frac{{6\lambda \pm \sqrt 4 }}{2} = 3\lambda \pm 1}$
2)
Πρέπει
$\displaystyle{\begin{array}{l} 0 \le x < 3 \Leftrightarrow \\ 0 \le 3\lambda + 1 < 3 \wedge 0 \le 3\lambda - 1 < 3 \Leftrightarrow \\ - 1 \le 3\lambda < 2 \wedge 1 \le 3\lambda < 4 \Leftrightarrow \\ - \frac{1}{3} \le \lambda < \frac{2}{3} \wedge \frac{1}{3} \le \lambda < \frac{4}{3} \Leftrightarrow \\ \lambda \in \left[ {\frac{1}{3},\frac{2}{3}} \right) \\ \end{array}}$

Ιστοσελίδα · #66

Βασίλη έκανες ρεκόρ 7 λεπτά μετά την δημοσίευση μηνύματος παρουσίασες λύση!!!

A.Spyridakis · #67

ΑΣΚΗΣΗ 28

Ρίζες μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι τα αντίστροφα του αθροίσματος S και του γινομένου P των ριζών της. Να αποδ. ότι (Ρ-1)(Ρ-2)...(Ρ-2010)> (Ρ-2011)(Ρ-2013)(Ρ-2014)...(Ρ-4020). [το 2012 εξαιρείται για να γλιτώσουμε τη συντέλεια

]

Ιστοσελίδα · #68

xr.tsif έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 16
Δίνεται η εξίσωση $x^2-2x+\lambda -1 = 0$ με λ $\neq 0$ .
i) Αν ισχύει ότι $x_{1}^2\cdot x_{2}+ x_{1}\cdot x_{2}^2 = 4$ όπου $x_{1}, x_{2}$ ρίζες της εξίσωσης να βρεθεί το λ.
ii) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο (i) ερώτημα να λυθεί η : $\left|\left|x-\lambda \right|+2(x_{1}+x_{2}) \right| > x_{1}\cdot x_{2} + 8$ .

Χρήστος Τσιφάκης

H άσκηση 16 που ξεχάστηκε

Αφού είναι x1, x2 οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης ισχύει:
$\displaystyle{ x_1 + x_2 = 2 }$
$\displaystyle{ x_1 \cdot x_2 = \lambda - 1 }$

Έχουμε ισοδύναμα
$\displaystyle{x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 = 4 \Leftrightarrow x_1 x_2 (x_1 + x_2 ) = 4 \Leftrightarrow 2(\lambda - 1) = 4 \Leftrightarrow \lambda = 3}$

Για λ = 3 η ανίσωση γράφεται:

$\displaystyle{ \left| {\left| {x - 3} \right| + 2 \cdot 2} \right| > 2 \cdot 8 }$

$\displaystyle{\left| {x - 3} \right| > 12 }$ επομένως (x > 15 ή x < - 9)

p_gianno · #69

A.Spyridakis έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 28

Ρίζες μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι τα αντίστροφα του αθροίσματος S και του γινομένου P των ριζών της. Να αποδ. ότι (Ρ-1)(Ρ-2)...(Ρ-2010)> (Ρ-2011)(Ρ-2013)(Ρ-2014)...(Ρ-4020). [το 2012 εξαιρείται για να γλιτώσουμε τη συντέλεια ]

Μία προσέγγιση στο συνημμένο

εξισώσεις 28.doc: (59.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 110 φορές

Π.Γ

A.Spyridakis · #70

math_finder έγραψε:
A.Spyridakis έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 28

Ρίζες μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι τα αντίστροφα του αθροίσματος S και του γινομένου P των ριζών της. Να αποδ. ότι (Ρ-1)(Ρ-2)...(Ρ-2010)> (Ρ-2011)(Ρ-2013)(Ρ-2014)...(Ρ-4020). [το 2012 εξαιρείται για να γλιτώσουμε τη συντέλεια ]
Μία προσέγγιση στο συνημμένο
εξισώσεις 28.doc
Π.Γ

Σωστός Παναγιώτη!

papel · #71

Ασκηση 29)

Εαν $\displaystyle{{x_1},{x_2}}$ οι λυσεις της εξισωσης :

$\displaystyle{{x^2} - (\alpha + \delta )x + \left( {\alpha \delta - \beta \gamma } \right) = 0}$

Να δειξετε οτι οι $\displaystyle{x_1^3,x_2^3}$ ειναι ριζες της εξισωσης :

$\displaystyle{{x^2} - \left( {{a^3} + {\beta ^3} + 3\alpha \beta \gamma + 3\beta \gamma \delta } \right)x + {\left( {a\delta - \beta \gamma } \right)^3} = 0}$

Μάκης Χατζόπουλος · #72

papel έγραψε:Ασκηση 29)

Εαν $\displaystyle{{x_1},{x_2}}$ οι λυσεις της εξισωσης :

$\displaystyle{{x^2} - (\alpha + \delta ) x + \left( {\alpha \delta - \beta \gamma } \right) = 0}$

Να δειξετε οτι οι $\displaystyle{x_1^3,x_2^3}$ ειναι ριζες της εξισωσης :

$\displaystyle{{x^2} - \left( {{a^3} + {\beta ^3} + 3\alpha \beta \gamma + 3\beta \gamma \delta } \right)x + {\left( {a\delta - \beta \gamma } \right)^3} = 0}$

Το άθροισμα της ζητούμενης εξίσωσης είναι:
$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)=(\alpha +\delta )^3-3(\alpha \delta -\beta \gamma )(\alpha +\delta )=\alpha ^3+\delta ^3+3\alpha \beta \gamma +3\beta \gamma \delta$

Ενώ το γινόμενο της ζητούμενης σχέσης είναι:
$x_1^3x_2^3=(x_1x_2)^3=(\alpha \delta -\beta \gamma )^3$

Σημείωση: Υπάρχει λάθος στα δεδομένα μέσα στην παρένθεση της δεύτερης εξίσωσης αντί για $\beta ^3$ πρέπει να βάλουμε $\delta ^3$

#73

papel έγραψε:Ασκηση 29)

Εαν $\displaystyle{{x_1},{x_2}}$ οι λυσεις της εξισωσης :

$\displaystyle{{x^2} - (\alpha + \delta )x + \left( {\alpha \delta - \beta \gamma } \right) = 0}$

Να δειξετε οτι οι $\displaystyle{x_1^3,x_2^3}$ ειναι ριζες της εξισωσης :

$\displaystyle{{x^2} - \left( {{a^3} + {\beta ^3} + 3\alpha \beta \gamma + 3\beta \gamma \delta } \right)x + {\left( {a\delta - \beta \gamma } \right)^3} = 0}$

O στάνταρ και δόκιμος τρόπος λύσης είναι βέβαια αυτός που γράφει ο Μάκης.

Αν θέλουμε να δειδάξουμε και άλλον ένα στους μαθητές μας, τότε μπορούμε να πούμε

Προφανώς τα $\displaystyle{x_1^3,x_2^3}$ είναι ρίζες της

$\displaystyle{{x^{2/3}} - (\alpha + \delta )x^{1/3} + \left( {\alpha \delta - \beta \gamma } \right) = 0} \,\,(*)$ ή

$\displaystyle{{x^{2/3}} = (\alpha + \delta )x^{1/3} - \left( {\alpha \delta - \beta \gamma } \right) }$

Ύψωση στον κύβο, με χρήση της (*) δίνει

$\displaystyle{{x^2} = (\alpha + \delta )^3x - \left( {\alpha \delta - \beta \gamma } \right)^3 -3(\alpha + \delta )x^{1/3} \left( {\alpha \delta - \beta \gamma } \right)((\alpha + \delta )x^{1/3} - \left( {\alpha \delta - \beta \gamma } )\right) = (\alpha + \delta )^3x - \left( {\alpha \delta - \beta \gamma } \right)^3 -3(\alpha + \delta )x^{1/3} (\alpha \delta - \beta \gamma )x^{2/3}}$

και λοιπά (είναι δευτεροβάθμια πολυωνυμική).

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

p_gianno · #74

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Άσκηση 12
Δίνεται η εξίσωση - |μ – 4|x - |4 – μ |=0 , όπου μ∈R-{4}.

Α. Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε τιμή μ∈R-{4}.
Β. Αν , είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης να δείξετε ότι:
+ + > 0

Άσκηση 14
Έστω η εξίσωση α+βx+γ=0, α≠0.
Α. Να δείξετε ότι: |α| + |γ| ≥ 2 $\sqrt{\alpha \gamma }$
Β. Αν ισχύει ότι: |β|> |α| + |γ| τότε να δείξετε ότι η δευτεροβάθμια εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.

Οι ασκήσεις 12 και 14

Ιστοσελίδα · #75

Χάρη σε σας, τα μέλη του mathematica συγκεντρώθηκαν 40 ωραιότατες και πρωτότυπες ασκήσεις μαζί με τις λύσεις τους για τα αρχεία της λέσχης.
Οι ασκήσεις συγκεντρώθηκαν σε αρχείο doc ώστε να μπορούν με ευκολία να επεξεργαστούν.

Το αρχείο που περιέχει τις ασκήσεις είναι το
http://www.mathematica.gr/index.php?ind ... w&iden=248

Το αρχείο είναι χωρισμένο σε δύο μέρη το πρώτο μέρος περιέχει μόνο τις εκφωνήσεις και το δεύτερο εκφωνήσεις και λύσεις μαζί.

Τέλος θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους εσάς που συμμετείχατε στην συγκέντρωση και λύση των ασκήσεων, αλλά οι μεγαλύτερες ευχαριστίες μου είναι για το αξιόμαχο πλέον μέλος της λέσχης μας και μαθήτρια stavroulitsa που την ευχαριστώ προσωπικά για την συμμετοχή της στην κατασκευή του αρχείου.

sorfan · #76

Για κάποιο λόγο το αρχείο δεν ανοίγει με word η pdf, χρειάζεται κάτι άλλο;

Σπύρος

p_gianno · #77

sorfan έγραψε:Για κάποιο λόγο το αρχείο δεν ανοίγει με word η pdf, χρειάζεται κάτι άλλο;

Σπύρος

Σπύρο
Κύττα την κατάληξη του αρχείου που κατέBασες. Αν δεν είναι κατι.doc τότε μετονόμασέ το σε πχ εξισώσεις.doc
Αν παρα ταύτα δεν ανοίγει ξανακατέβασε το και εν ανάγκη μετονομασέ το , ακόμα και αν φαίνεται σωστή η ονομασία του. (πάντα με κατάληξη-επέκταση .doc)
Π.Γ

papel · #78

Πωπωπω καλιτεχνικη δουλεια απο τον κ.Καρδαμιτση.

Οπως παντα.Merci beacoup spiros.

#79

Σπύρο ...πολύ καλό...

Μάκης Χατζόπουλος · #80

Μπράβο μας

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Re: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Μέλη σε σύνδεση