Μέγιστο εμβαδόν

Grosrouvre · #1

Ένα γνωστό, αλλά σίγουρα ενδιαφέρον πρόβλημα που αντιμετωπίζεται εκτός των άλλων και με γνώσεις Άλγεβρας, είναι το παρακάτω:

$\bullet$ Από όλα τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα με σταθερή περίμετρο, να βρεθεί εκείνο με το μέγιστο εμβαδόν. Φυσικά, η απάντηση είναι το τετράγωνο.

Προκύπτει το ίδιο συμπέρασμα θεωρώντας την οικογένεια όλων των παραλληλογράμμων σταθερής περιμέτρου;

raf616 · #2

Grosrouvre έγραψε:Ένα γνωστό, αλλά σίγουρα ενδιαφέρον πρόβλημα που αντιμετωπίζεται εκτός των άλλων και με γνώσεις Άλγεβρας, είναι το παρακάτω:

$\bullet$ Από όλα τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα με σταθερή περίμετρο, να βρεθεί εκείνο με το μέγιστο εμβαδόν. Φυσικά, η απάντηση είναι το τετράγωνο.

Προκύπτει το ίδιο συμπέρασμα θεωρώντας την οικογένεια όλων των παραλληλογράμμων σταθερής περιμέτρου;

Καλησπέρα. Μία προσπάθεια, για το δεύτερο ερώτημα, με επιφυλάξεις.

Η απάντηση είναι ναι, ότι το τετράγωνο είναι το ζητούμενο τετράπλευρο.

Έστω ABCD

ένα παραλληλόγραμμο με πλευρές AB = CD = a

και

και έστω $\phi = \angle DAB = \angle BCD$ .

Φέρνοντας τη διαγώνιο

βλέπουμε ότι το ζητούμενο εμβαδόν είναι ίσο με 2(ABD)

. Όμως $(ABD) = \dfrac{1}{2}ab \sin \phi$ .

Άρα $E = ab\sin \phi \leq \dfrac{(a+b)^2}{4} \cdot 1 = \dfrac{(a+b)^2}{4} = \dfrac{c^2}{4}$ όπου a + b = c

.

Για να ισχύει η ισότητα πρέπει a = b

και $\sin \phi = 1 \iff \phi = 90^{o}$ αφού $\phi < 180^{o}$ .

Από τα παραπάνω είναι προφανές, ότι το τετράγωνο είναι το τετράπλευρο με το μέγιστο εμβαδόν.

kimjonarfib · #3

Με επιφυλαξη γραφω:
Θέτουμε ότι το μήκος ειναι το

και το πλάτος είναι το

$a+b=y \; (1)$ , αφού η περίμετρος του ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι σταθερή.
Από την (1)

το εμβαδόν γράφεται ως εξής: ab=(y-b)b=-b^2+by

Έχουμε λοίπον ένα τριώνυμο του οποίου ψάχνουμε την μέγιστη τιμή, η οποία είναι ίση με την τεταγμένη της κορυφής της παραβολης. Επίσης για την κορυφή της παραβολής ισχύει ότι $b=\dfrac{-y}{-2} \Rightarrow b=\dfrac{-a-b}{-2} \Rightarrow -2b=-a-b \Rightarrow -b=-a \Rightarrow a=b$

Ελπίζω η λύση,εκτός από σωστή να είναι και κατανοήτη

Φιλικά Κίμων

Μέγιστο εμβαδόν

Μέγιστο εμβαδόν

Re: Μέγιστο εμβαδόν

Re: Μέγιστο εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση