Άσκηση σε ρητους

S3i · #1

Αν $\alpha ,\beta ,x,y \in Q$ και $(\alpha y -\beta x)^2+4(\alpha - x)(\beta - y) = 0$ (1)

, τότε ή $x = \alpha$ και $y = \beta$ ή $1 - \alpha\beta , 1 - xy$ είναι τετράγωνα ρητών αριθμών.
Παρατηρώ επίσης οτι (1)

$\Leftrightarrow$ $(\alpha y - 2)^2 + (\beta x - 2)^2 - 2(2-xy)(2 - \alpha\beta) = 0$

#2

Αν $\displaystyle{b=0}$ , τότε η εξίσωση γράφεται: $\displaystyle{a^2 y^2 -4ay+4xy=0\Leftrightarrow y(a^2 y -4a+4x)=0\Leftrightarrow y=0}$ , ή $\displaystyle{4x=-a^2 y +4a}$

Δηλαδή, αν $\displaystyle{b=0}$ , τότε οι λύσεις είναι $\displaystyle{y=0 , aEQ , xEQ}$ , ή , $\displaystyle{aEQ , x=\frac{-a^2 y +4a}{4} , yEQ}$

Αν $\displaystyle{b\neq 0}$ , τότε η δοσμένη εξίσωση γράφεται:

$\displaystyle{b^2 x^2 -2(aby+2b-2y)x+a^2 y^2 -4ay+4ab =0}$ . Η διακρίνουσα αυτής της εξίσωσης είναι $\displaystyle{D=16(1-ab)(y-b)^2}$ . Άρα για να έχει ρίζες ρητές

πρέπει 0 αριθμός $\displaystyle{1-ab}$ να είναι τέλειο τετράγωνο ρητού.

Τότε $\displaystyle{x=\frac{(aby+2b-2y)\pm 2(y-b)\sqrt{1-ab}}{b^2} , yEQ , }$ και $\displaystyle{a , b EQ}$ , με την προυπόθεση να είναι $\displaystyle{1-ab = k^2}$ , όπου $\displaystyle{kEQ}$

(ΣΗΜ: Εύκολα μπορούμε να δείξουμε ότι και το $\displaystyle{1-xy}$ είναι τέλειο τετράγωνο ρητού, όταν $\displaystyle{1-ab = k^2}$ , όπου $\displaystyle{kEQ}$

Συγκεκριμένα, βγαίνει ότι: $\displaystyle{1-xy = \frac{(y-b\pmky)^2}{b^2}}$ )

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Το θέμα αυτό, δεν ανήκει προφανώς στον φάκελλο αυτό.

(Μόλις είδα, ότι ήδη μετακινήθηκε στον σωστό φάκελλο)

S3i · #3

Οφείλω να ομολογήσω οτι κάποιες φορές πρέπει να μην παρασήρομαι απο που βρίσκω τις ασκήσεις και να σκεύτομαι πιο απλά!
Ευχαριστώ πολύ!

Άσκηση σε ρητους

Άσκηση σε ρητους

Re: Άσκηση σε ρητους

Re: Άσκηση σε ρητους

Μέλη σε σύνδεση