Ταυτότητα και ελάχιστο

#1

α) Να γράψετε την παράσταση $\displaystyle{K=4x^2+12xy+11y^2-2y+4x+12}$ στη μορφή $\displaystyle{(\alpha x+\beta y+\gamma)^2 +(\delta y+\varepsilon)^2+\xi} .$
β) Να βρείτε την ελάχιστη τιμής της παράστασης αυτής για όλες τις πραγματικές τιμές των $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y}.$

#2

socrates έγραψε:α) Να γράψετε την παράσταση $\displaystyle{K=4x^2+12xy+11y^2-2y+4x+12}$ στη μορφή $\displaystyle{(\alpha x+\beta y+\gamma)^2 +(\delta y+\varepsilon)^2+\xi} .$
β) Να βρείτε την ελάχιστη τιμής της παράστασης αυτής για όλες τις πραγματικές τιμές των $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y}.$

α) Είναι

$\displaystyle{(\alpha x+\beta y+\gamma)^2 +(\delta y+\varepsilon)^2+\xi=\alpha^2 x^2+2\alpha\beta xy+(\beta^2+\delta^2)y^2+2(\beta\gamma+\delta\varepsilon)y+2\alpha\gamma x+\gamma^2+e^2+\xi}$

Άρα πρέπει και αρκεί να είναι

$\alpha^2=4$ ,

$\alpha\beta=6$ ,

$\beta^2+\delta^2=11$ ,

$\beta\gamma+\delta\varepsilon=-1$

$\alpha\gamma=2$ , και

$\gamma^2+e^2+\xi=12$

Παρατηρoύμε ότι $\beta\gamma=\dfrac{\alpha\beta\alpha\gamma}{\alpha^2}=\dfrac{6\cdot 2}{4}=3$ , κι άρα $\delta\epsilon=-4.$

Επίσης, $\beta^2=\dfrac{6^2}{4}=9$ , οπότε $\delta^2=2$ , $\varepsilon^2=8$ (με $\delta,\varepsilon$ ετερόσημα).

Επίσης, είναι $\gamma^2=1$ και $\xi=12-\gamma^2-e^2=12-1-8=3.$

Μπορούμε να υποθέσουμε ότι $\alpha, \beta,\gamma>0$ και $\delta>0>\varepsilon$ , οπότε έχουμε

$(\alpha,\beta,\gamma,\delta,\varepsilon,\xi)=(2,3,1,\sqrt{2},-2\sqrt{2},3)$ , δηλ.

η παρασταση γράφεται ως

$(2x+3y+1)^2+(\sqrt{2}y-2\sqrt{2})^2+3.$

β) Το ελάχιστο της παράστασης

$(2x+3y+1)^2+(\sqrt{2}y-2\sqrt{2})^2+3$ είναι το 3 για

$y=\sqrt{2}$ και $x=\dfrac{-3\sqrt{2}-1}{2}.$

Φιλικά,

Αχιλλέας

Ταυτότητα και ελάχιστο

Ταυτότητα και ελάχιστο

Re: Ταυτότητα και ελάχιστο

Μέλη σε σύνδεση