Ανισότητα

#1

Αν $a,b,c,d\in (0,+\infty)$ με $a\geq b$ και $c\geq d$ να αποδείξετε ότι

$\sqrt{(a+c)^2-(b+d)^2}\geq \sqrt{a^2-b^2}+\sqrt{c^2-d^2}$

harrisp · #2

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:Αν $a,b,c,d\in (0,+\infty)$ με $a\geq b$ και $c\geq d$ να αποδείξετε ότι

$\sqrt{(a+c)^2-(b+d)^2}\geq \sqrt{a^2-b^2}+\sqrt{c^2-d^2}$

Μια προσπάθεια

Και τα δυο μελη ειναι θετικά οπότε με ύψωση στο τετράγωνο λαμβάνουμε:

$ac-bd\geq \sqrt {(a^2-b^2)(c^2-d^2)}$ . Από την εκφώνηση έχουμε ότι το αριστερό μέλος είναι θετικό όποτε υψώσουμε ξανά στο τετράγωνο θα καταλήξουμε στην γνωστή $(ad-bc)^2\geq 0$ που ισχύει. Η ισότητα αν ad=bc

.

ΥΓ. Παρέλειψα τις πράξεις, αν και δεν ειναι πολλές. Ελπίζω να μην εχω κανει σοβαρό λαθος!

dement · #3

Εναλλακτικά δεν χρειάζεται η δεύτερη ύψωση στο τετράγωνο. Στην πρώτη ανισότητα του Χάρη εφαρμόζουμε Cauchy-Schwarz.

#4

Μία γεωμετρική ερμηνεία στην περίπτωση της ισότητας.

: Ανισότητα...png (7.52 KiB) Προβλήθηκε 1248 φορές

#5

Προκύπτει άμεσα αν χρησιμοποιήσουμε "πονηρά" την Cauchy-Schwarz

$(a+c)^2-(b+d)^2=((a-b)+(c-d))((a+b)+(c+d))\geq \left(\sqrt{(a-b)(a+b)}+\sqrt{(c-d)(c+d)}\right)^2$

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση