Ισοδυναμία ισοτήτων

Ιστοσελίδα · #1

Έστω $a, b\in\mathbb{R}$ με a+b=1.

Να αποδείξετε ότι:

$|a^2-b^2|=1 \Leftrightarrow |a^3-b^3|=1$

#2

Καλησπέρα σε όλους.

Ας ξεκινήσουμε με μια "μετωπική" αντιμετώπιση:

$\displaystyle a + b = 1 \Leftrightarrow b = 1 - a$ (1)

Λόγω της (1) είναι $\displaystyle \left| {{a^2} - {b^2}} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {{a^2} - {{\left( {1 - a} \right)}^2}} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {2a - 1} \right| = 1 \Leftrightarrow \left( {a = 0\;\; \vee \;\;a = 1} \right)$ (2).

Οπότε τα ζεύγη που ικανοποιούν την πρώτη ισότητα είναι $\displaystyle \left( {a = 0,\;b = 1\;\;\; \vee \;\;a = 1,\;b = 0} \right)$

Επίσης $\displaystyle \left| {{a^3} - {b^3}} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {{a^3} - {{\left( {1 - a} \right)}^3}} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {2{a^3} - 3{a^2} + 3a - 1} \right| = 1$ (3).

Οπότε από την (3) έχουμε $\displaystyle 2{a^3} - 3{a^2} + 3a = 0 \Leftrightarrow a\left( {2{a^2} - 3a + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow a = 0$ (4)

ή $\displaystyle 2{a^3} - 3{a^2} + 3a - 2 = 0 \Leftrightarrow 2\left( {{a^3} - 1} \right) - 3a\left( {a - 1} \right) = 0$
$\displaystyle \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {2{a^2} - a + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow a = 1\;\;\;\left( 5 \right).$

Οι (4) και (5) μάς οδηγούν στα ίδια ζεύγη με τη (2), άρα ισχύει η ισοδυναμία.

Ανδρέας Πούλος · #3

Οδηγεί και στη γενικότερη σχέση
$\left | a^{2}- b^{2} \right |=1 \Leftrightarrow \left |a^{n} -b^{n} \right |=1$

Ισοδυναμία ισοτήτων

Ισοδυναμία ισοτήτων

Re: Ισοδυναμία ισοτήτων

Re: Ισοδυναμία ισοτήτων

Μέλη σε σύνδεση