Δύσκολη Ρητοποίηση

harrisp · #1

Να μετατραπεί το κλάσμα $\displaystyle {\dfrac {1}{2^\frac{1}{3}+3^\frac{1}{3}+5^\frac{1}{3}}}$ σε ισοδύναμο με ρητό παρονομαστή.

#2

Πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με τον αριθμό

$\displaystyle{X=\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{6}-\sqrt[3]{15}-\sqrt[3]{10}}$

οπότε από την ταυτότητα $\displaystyle{(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)(a+b+c)=a^3+b^3+c^3-3abc}$ το κλάσμα γράφεται

$\displaystyle{\frac{X}{2+3+5-3\sqrt[3]{30}}=\frac{X}{10-3\sqrt[3]{30}}}$ .

Πολλαπλασιάζουμε πάλι αριθμητή και παρονομαστή με τον αριθμό $\displaystyle{100+30\sqrt[3]{30}+9\sqrt[3]{900},}$ οπότε από την ταυτότητα $\displaystyle{(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3}$ ο το κλάσμα πλέον έχει παρονομαστή ίσο με $\displaystyle{10^3-27\cdot 30=190.}$

harrisp · #3

matha έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 06, 2017 7:40 pm
Πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με τον αριθμό

$\displaystyle{X=\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{6}-\sqrt[3]{15}-\sqrt[3]{10}}$

οπότε από την ταυτότητα $\displaystyle{(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)(a+b+c)=a^3+b^3+c^3-3abc}$ το κλάσμα γράφεται

$\displaystyle{\frac{X}{2+3+5-3\sqrt[3]{30}}=\frac{X}{10-3\sqrt[3]{30}}}$ .

Πολλαπλασιάζουμε πάλι αριθμητή και παρονομαστή με τον αριθμό $\displaystyle{100+30\sqrt[3]{30}+9\sqrt[3]{900},}$ οπότε από την ταυτότητα $\displaystyle{(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3}$ ο το κλάσμα πλέον έχει παρονομαστή ίσο με $\displaystyle{10^3-27\cdot 30=190.}$

Σας ευχαριστώ πολύ κ. Θάνο! Η χρήση της Euler φαίνεται να είναι μονόδρομος.

Δύσκολη Ρητοποίηση

Δύσκολη Ρητοποίηση

Re: Δύσκολη Ρητοποίηση

Re: Δύσκολη Ρητοποίηση

Μέλη σε σύνδεση