Ποιός έχει τελικά πρόβλημα;

#1

Από τις οδηγίες για την Άλγεβρα 2021-22

stranger · #2

exdx έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 01, 2021 11:31 pm
Από τις οδηγίες για την Άλγεβρα 2021-22

Δεν ορίζεται στους πραγματικούς η συγκεκριμένη παράσταση εξ'αρχής, αφού έχει μέσα στη παρένθεση τον αριθμό $(-2)^{\frac{2}{4}}$ που δεν ορίζεται.
Οπότε αφού είναι από την αρχή κακώς ορισμένο δεν έχει νόημα να πούμε αν είναι λάθος η σωστές οι απαντήσεις. Αυτή είναι η απάντηση εντός φακέλου.
Εκτός φακέλου τώρα..
Μόνο στους μιγαδικούς ορίζεται.
Ακόμα και στους μιγαδικούς και οι δυο απαντήσεις είναι λάθος, γιατί χρησιμοποιούν το $(z^{x})^{y} = z^{xy}$ το οποίο δεν ισχύει στους μιγαδικούς.
Η σωστή απάντηση είναι $[(-2)^{\frac{2}{4}}}]^{2}$ $= [(-2)^{\frac{1}{2}}}]^{2} = [(2e^{i \pi})^{\frac{1}{2}}}]^{2}$ $= [\sqrt{2}e^{i \frac{\pi}{2}}]^{2}$ $= 2 e^{i \pi} =-2$
Βέβαια εξαρτάται ποιο κλάδο της ρίζας θα διαλέξεις. Άλλος κλάδος, διαφορετικό αποτέλεσμα. Εγώ διάλεξα τον κλάδο που επεκτείνει τη συνήθη ρίζα από τους πραγματικούς στους μιγαδικούς.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

stranger έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 01, 2021 11:39 pm

exdx έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 01, 2021 11:31 pm
Από τις οδηγίες για την Άλγεβρα 2021-22
Εκτός φακέλου τώρα..
Μόνο στους μιγαδικούς ορίζεται.
Ακόμα και στους μιγαδικούς και οι δυο απαντήσεις είναι λάθος, γιατί χρησιμοποιούν το $(z^{x})^{y} = z^{xy}$ το οποίο δεν ισχύει στους μιγαδικούς.
Η σωστή απάντηση είναι $[(-2)^{\frac{2}{4}}}]^{2}$ $= [(-2)^{\frac{1}{2}}}]^{2} = [(2e^{i \pi})^{\frac{1}{2}}}]^{2}$ $= [\sqrt{2}e^{i \frac{\pi}{2}}]^{2}$ $= 2 e^{i \pi} =-2$
Βέβαια εξαρτάται ποιο κλάδο της ρίζας θα διαλέξεις. Άλλος κλάδος, διαφορετικό αποτέλεσμα. Εγώ διάλεξα τον κλάδο που επεκτείνει τη συνήθη ρίζα από τους πραγματικούς στους μιγαδικούς.

Δεν είναι έτσι
Βλέπε
https://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation
Multivalued function.
Στους Μιγαδικούς ορίζουμε για $a\neq 0$
$a^{b}=e^{b \log a}$
οπου ο $\log z$ είναι ο μιγαδικός λογάριθμος (Multivalued function)
Γενικά είναι πλειότιμη συνάρτηση αλλά σε κάποιες περιπτώσεις δίνει συνάρτηση.
π.χ αν $b\in \mathbb{Z}$
Η παράσταση που έχει δοθεί είναι μονοσήμαντη ορισμένη και κάνει

.
Γιατί
$[(-2)^{\frac{2}{4}}]^{2}=[e^{\frac{2}{4}\log(-2)}]^{2}=[e^{\frac{2}{4}(\ln(2)+i(2k+1)\pi )}]^{2}=e^{\ln2+i(2k+1)\pi }=-2$
οπου $\ln$ είναι ο πραγματικός λογάριθμος και $k\in \mathbb{Z}$

Το ότι το ερώτημα είναι άστοχο για σχολική χρήση είναι αυτονόητο.
Σε φοιτητές βέβαια μπορεί να δοθεί και δίνεται.
Βλέπε και στο

Ε.ΓΑΛΑΝΗ
Εισαγωγή στη
ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
Εκδοση 2η
σελ 39

Christos.N · #4

Στο συγκεκριμένο γίνονται και τα απλά σύνθετα χωρίς λόγο.

$-1=(-1)^1=(-1)^\frac{2}{2}=[(-1)^2]^\frac{1}{2}=1^\frac{1}{2}=1$

stranger · #5

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 02, 2021 11:15 am

stranger έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 01, 2021 11:39 pm

exdx έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 01, 2021 11:31 pm
Από τις οδηγίες για την Άλγεβρα 2021-22
Εκτός φακέλου τώρα..
Μόνο στους μιγαδικούς ορίζεται.
Ακόμα και στους μιγαδικούς και οι δυο απαντήσεις είναι λάθος, γιατί χρησιμοποιούν το $(z^{x})^{y} = z^{xy}$ το οποίο δεν ισχύει στους μιγαδικούς.
Η σωστή απάντηση είναι $[(-2)^{\frac{2}{4}}}]^{2}$ $= [(-2)^{\frac{1}{2}}}]^{2} = [(2e^{i \pi})^{\frac{1}{2}}}]^{2}$ $= [\sqrt{2}e^{i \frac{\pi}{2}}]^{2}$ $= 2 e^{i \pi} =-2$
Βέβαια εξαρτάται ποιο κλάδο της ρίζας θα διαλέξεις. Άλλος κλάδος, διαφορετικό αποτέλεσμα. Εγώ διάλεξα τον κλάδο που επεκτείνει τη συνήθη ρίζα από τους πραγματικούς στους μιγαδικούς.
Δεν είναι έτσι
Βλέπε
https://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation
Multivalued function.
Στους Μιγαδικούς ορίζουμε για $a\neq 0$
$a^{b}=e^{b \log a}$
οπου ο $\log z$ είναι ο μιγαδικός λογάριθμος (Multivalued function)
Γενικά είναι πλειότιμη συνάρτηση αλλά σε κάποιες περιπτώσεις δίνει συνάρτηση.
π.χ αν $b\in \mathbb{Z}$
Η παράσταση που έχει δοθεί είναι μονοσήμαντη ορισμένη και κάνει .
Γιατί
$[(-2)^{\frac{2}{4}}]^{2}=[e^{\frac{2}{4}\log(-2)}]^{2}=[e^{\frac{2}{4}(\ln(2)+i(2k+1)\pi )}]^{2}=e^{\ln2+i(2k+1)\pi }=-2$
οπου $\ln$ είναι ο πραγματικός λογάριθμος και $k\in \mathbb{Z}$

Το ότι το ερώτημα είναι άστοχο για σχολική χρήση είναι αυτονόητο.
Σε φοιτητές βέβαια μπορεί να δοθεί και δίνεται.
Βλέπε και στο

Ε.ΓΑΛΑΝΗ
Εισαγωγή στη
ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
Εκδοση 2η
σελ 39

Σταύρο έχεις δίκιο. Όποιο κλάδο της ρίζας και να διαλέξεις το αποτέλεσμα είναι το ίδιο, αφού μετά υψώνεις στο τετράγωνο και ο ένας κλάδος είναι ίσος με πλην τον άλλον.
Βέβαια αποδεικνύεται με τον ορισμό της δύναμης όπως έκανες εσύ(ουσιαστικά είναι το ίδιο πράγμα).

Platon.Papanikolaou · #6

Καλησπέρα,
Κατά τη γνώμη σας μπορώ να γράψω ότι για κάθε πραγματικό αριθμό χ ισχύει: κυβική ρίζα του χ^2 ισούται με χ^2 εις την ⅓;

#7

Platon.Papanikolaou έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 20, 2023 1:56 pm
Καλησπέρα,
Κατά τη γνώμη σας μπορώ να γράψω ότι για κάθε πραγματικό αριθμό χ ισχύει: κυβική ρίζα του χ^2 ισούται με χ^2 εις την ⅓;

Μπορούμε. Δεν βλέπω να υπάρχει πρόβλημα.

stranger · #8

Platon.Papanikolaou έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 20, 2023 1:56 pm
Καλησπέρα,
Κατά τη γνώμη σας μπορώ να γράψω ότι για κάθε πραγματικό αριθμό χ ισχύει: κυβική ρίζα του χ^2 ισούται με χ^2 εις την ⅓;

Βεβαίως και μπορούμε.
Αυτός είναι ο ορισμός του $(x^2)^{\frac{1}{3}}$ και δεν υπάρχει κανένα πρόβλημα με αρνητική ποσότητα κάτω από τη ρίζα.

Christos.N · #9

stranger έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 21, 2023 4:44 am

Βεβαίως και μπορούμε.
Αυτός είναι ο ορισμός του $(x^2)^{\frac{1}{3}}$ και δεν υπάρχει κανένα πρόβλημα με αρνητική ποσότητα κάτω από τη ρίζα.

Να το προχωρήσω λίγο , ισχύει τότε η ιδιότητα των δυνάμεων: $(x^2)^{\frac{1}{3}}=x^{\frac{2}{3}}$ ;

stranger · #10

Christos.N έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 21, 2023 4:54 pm

stranger έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 21, 2023 4:44 am

Βεβαίως και μπορούμε.
Αυτός είναι ο ορισμός του $(x^2)^{\frac{1}{3}}$ και δεν υπάρχει κανένα πρόβλημα με αρνητική ποσότητα κάτω από τη ρίζα.
Να το προχωρήσω λίγο , ισχύει τότε η ιδιότητα των δυνάμεων: $(x^2)^{\frac{1}{3}}=x^{\frac{2}{3}}$ ;

Ναι ισχύει. Ορισμός.

#11

Ας τονίσουμε επίσης και το εξής:

Οι συναρτήσεις :

$\displaystyle{f(x)=(x^2 )^{\frac{1}{4}}=x^{\frac{2}{4}}}$

και

$\displaystyle{g(x)=x^{\frac{1}{2}}$

δεν έχουν ίδιο το πεδίο ορισμού τους (δηλαδή το ευρύτερο σύνολο, στο οποίο ορίζονται)

Έτσι, αν θεωρήσουμε την συνάρτηση $\displaystyle{f:R\rightarrow R}$ με $\displaystyle{f(x)=(x^2 )^{\frac{1}{4}}}$

θα είναι λάθος να γράψουμε:

$\displaystyle{f(x)=x^{\frac{2}{4}}}$ = $\displaystyle{{x^{\frac{1}{2}}}$

#12

stranger έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 22, 2023 5:23 am

Christos.N έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 21, 2023 4:54 pm

stranger έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 21, 2023 4:44 am

Βεβαίως και μπορούμε.
Αυτός είναι ο ορισμός του $(x^2)^{\frac{1}{3}}$ και δεν υπάρχει κανένα πρόβλημα με αρνητική ποσότητα κάτω από τη ρίζα.
Να το προχωρήσω λίγο , ισχύει τότε η ιδιότητα των δυνάμεων: $(x^2)^{\frac{1}{3}}=x^{\frac{2}{3}}$ ;
Ναι ισχύει. Ορισμός.

Όχι, δεν ισχύει. Πάντα μιλώντας για το σχολικό πλαίσιο.

Η συνάρτηση $\displaystyle{(x^2)^\frac{2}{3}}$ ορίζεται για κάθε $\displaystyle{x,}$ ενώ η $\displaystyle{x^{\frac{2}{3}}}$ για $\displaystyle{x\geq 0.}$

Ποιός έχει τελικά πρόβλημα;

Ποιός έχει τελικά πρόβλημα;

Re: Ποιός έχει τελικά πρόβλημα;

Re: Ποιός έχει τελικά πρόβλημα;

Re: Ποιός έχει τελικά πρόβλημα;

Re: Ποιός έχει τελικά πρόβλημα;

Re: Ποιός έχει τελικά πρόβλημα;

Re: Ποιός έχει τελικά πρόβλημα;

Re: Ποιός έχει τελικά πρόβλημα;

Re: Ποιός έχει τελικά πρόβλημα;

Re: Ποιός έχει τελικά πρόβλημα;

Re: Ποιός έχει τελικά πρόβλημα;

Re: Ποιός έχει τελικά πρόβλημα;

Μέλη σε σύνδεση