Τρίγωνο 57.

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 837
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Τρίγωνο 57.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Σάβ Ιαν 13, 2018 2:48 pm

1.png
1.png (9.88 KiB) Προβλήθηκε 135 φορές
Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα ισχύει ότι: \Delta A=\Delta \Gamma .
Αποδείξτε ότι: \theta=30^{0} (A, \Delta , E συνευθειακά).



Λέξεις Κλειδιά:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4170
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Τρίγωνο 57.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Σάβ Ιαν 13, 2018 11:07 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Σάβ Ιαν 13, 2018 2:48 pm
1.png
Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα ισχύει ότι: \Delta A=\Delta \Gamma .
Αποδείξτε ότι: \theta=30^{0} (A, \Delta , E συνευθειακά).
Μια λύση με την "απαγορευμένη" πλέον τριγωνομετρία: (Για ευκολία πληκτρολόγησης, θέτω \displaystyle{\theta = x})

Από τον νόμο των ημιτόνων στα τρίγωνα \displaystyle{ABD} και \displaystyle{ DBE} έχουμε;

\displaystyle{\frac{BD}{sinx}=\frac{AD}{sin(54-x)}} και \displaystyle{\frac{BD}{sin78}=\frac{DE}{sin48}} και με διαίρεση κατά μέλη:

\displaystyle{\frac{AD}{DE}=\frac{sin78.sin(54-x)}{sin48.sinx}} , (ΣΧΕΣΗ 1)

Πάλι από τον νόμο ημιτόνων στο τρίγωνο \displaystyle{DEC} , έχουμε: \displaystyle{\frac{DC}{sin102}=\frac{DE}{sin66}\Rightarrow \frac{AD}{DE}=\frac{sin102}{sin66}}

και άρα: \displaystyle{\frac{AD}{DE}=\frac{sin78}{sin66}} και λόγω της (ΣΧΕΣΗΣ 1) , παίρνουμε:

\displaystyle{\frac{sin78.sin(54-x)}{sin48.sinx}=\frac{sin78}{sin66}\Rightarrow sin66.sin(54-x)=sin48.sinx\Rightarrow}

\displaystyle{cos24.cos(36+x)=2sin24.cos24.sinx\Rightarrow cos(36+x)=2sin24.sinx\Rightarrow}

\displaystyle{cos36.cosx - sin36.sinx=2sinx.sin(60-36)\Rightarrow cos36.cosx - sin36.sinx = 2sinx.sin60.cos36 -2sinx.cos60.sin36\Rightarrow}

\displaystyle{cos36.cosx -sin36.sinx = 2\sqrt3 .sinx.cos36 -sinx.sin36\Rightarrow cosx =2\sqrt3 .sinx \Rightarrow tanx=\frac{\sqrt3}{3}\Rightarrow x=30^{o}}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1268
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Τρίγωνο 57.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Ιαν 14, 2018 12:02 am

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Σάβ Ιαν 13, 2018 2:48 pm
1.png
Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα ισχύει ότι: \Delta A=\Delta \Gamma .
Αποδείξτε ότι: \theta=30^{0} (A, \Delta , E συνευθειακά).

Είναι\displaystyle \angle BDC = {66^0} και με \displaystyle P συμμετρικό του \displaystyle C ως προς \displaystyle BD \displaystyle  \Rightarrow PB = BC = BD και \displaystyle PD = DC = AD

Επειδή \displaystyle \angle PDC = {132^0} \Rightarrow \angle PAC = {66^0} κι επειδή \displaystyle \angle DAC = {6^0} \Rightarrow \angle PAD = {60^0} \Rightarrow \vartriangle APD ισόπλευρο άρα \displaystyle AP = AD

Τότε, \displaystyle AB μεσοκάθετος της \displaystyle PD άρα \displaystyle \boxed{\angle BAE = {{30}^0}}
T57.png
T57.png (34.79 KiB) Προβλήθηκε 90 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5387
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τρίγωνο 57.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Ιαν 14, 2018 3:12 am

Τρίγωνο 57_new.png
Τρίγωνο 57_new.png (50.15 KiB) Προβλήθηκε 79 φορές
Είναι προφανές ότι το \vartriangle BCD \to (48^\circ ,66^\circ ,66^\circ ) . Κατασκευάζω ίσο ισοσκελές τρίγωνο στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την AC, το \vartriangle TDA.

Τώρα όμως το \vartriangle TBD είναι ισόπλευρο και άρα : TB = TA οπότε:

Το \vartriangle TBA \to (108^\circ ,36^\circ ,36^\circ ) \Rightarrow \boxed{\widehat \theta  = 66^\circ  - 36^\circ  = 30^\circ }


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9275
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Τρίγωνο 57.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Ιαν 14, 2018 8:51 am

Συπλήρωμα.png
Συπλήρωμα.png (13.61 KiB) Προβλήθηκε 70 φορές
Παρατηρούμε ότι εν τέλει και το τρίγωνο \displaystyle ABC ( όπως και τα DAC , DBC ) , είναι

ισοσκελές και μάλιστα με γωνία κορυφής 36^0 . Τίθεται τώρα το αντίστροφο πρόβλημα :

Αν στο ισοσκελές τρίγωνο \displaystyle ABC , με \hat{A}=36^0 , η μεσοκάθετη της AC τέμνει

τον κύκλο (B,BC) στο D , υπολογίστε τη γωνία : \widehat{DBC} .


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5387
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τρίγωνο 57.

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Ιαν 14, 2018 12:52 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Ιαν 14, 2018 8:51 am
Συπλήρωμα.pngΠαρατηρούμε ότι εν τέλει και το τρίγωνο \displaystyle ABC ( όπως και τα DAC , DBC ) , είναι

ισοσκελές και μάλιστα με γωνία κορυφής 36^0 . Τίθεται τώρα το αντίστροφο πρόβλημα :

Αν στο ισοσκελές τρίγωνο \displaystyle ABC , με \hat{A}=36^0 , η μεσοκάθετη της AC τέμνει

τον κύκλο (B,BC) στο D , υπολογίστε τη γωνία : \widehat{DBC} .
Ας είναι S το σημείο τομής της εν λόγω μεσοκαθέτου με την AB. Προφανώς το \vartriangle CSB \to (36^\circ ,72^\circ ,72^\circ ).

Τα τρίγωνα \vartriangle DAS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DCS είναι ίσα. (\Pi  - \Pi  - \Pi ) και θα έχουν επομένως τις αντίστοιχες γωνίες \,\,\widehat {ADT}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {BDC} ίσες .

Κατασκευάζω ισοσκελές τρίγωνο TDA\,\,(TA = TD) ίσο με το \vartriangle BCD προς το ίδιο ημιεπέπεδο ως προς την AC .

Αντίστροφο στο τρίγωνο 57.png
Αντίστροφο στο τρίγωνο 57.png (38.71 KiB) Προβλήθηκε 52 φορές
Το \vartriangle DTB είναι ισοσκελές , έχει διχοτόμο της γωνίας της κορυφής του την DS , αφού \widehat {SDA} = \widehat {SDC}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {ADT} = \widehat {BDC}.

Μα έτσι η SD είναι μεσοκάθετος στο TB με άμεση συνέπεια το τετράπλευρο TBCA να είναι ισοσκελές τραπέζιο .

Θα είναι έτσι \displaystyle \widehat {TAC} = \widehat {ACB} = 72^\circ \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat \theta  = \widehat {BAC} = 36^\circ , δηλαδή το \vartriangle TAB είναι ισοσκελές. Και αναγκαστικά το \vartriangle TBD είναι ισόπλευρο .

Εδώ επί της ουσίας τελειώσαμε και θα είναι \vartriangle BCD \to (48^\circ ,66^\circ ,66^\circ ) .


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης