ΑΣΚΗΣΗ ΣΕ ΤΡΙΓΩΝΟ
Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος
ΑΣΚΗΣΗ ΣΕ ΤΡΙΓΩΝΟ
Σε τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Β είναι διπλάσια της Γ και η πλευρά α ειναι διπλάσια της γ.Να δείξετε οτι η γωνια Α είναι ορθή.
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Re: ΑΣΚΗΣΗ ΣΕ ΤΡΙΓΩΝΟ
Μίλτο θα γράψω μία λύση, τριγωνομετρικής φύσεως, συνεπώς εκτός ύλης Α'Λυκείου.
'Εχω α=2γ => ημΑ=2ημΓ (απο το νόμο των ημιτόνων) (1)
Επιπλέον: Β=2Γ =>ημΒ=ημ2Γ => ημΒ=2ημΓσυνΓ => ημΒ=ημΑσυνΓ => 2ημΒ=ημ(Α+Γ)+ημ(Α-Γ) => 2ημΒ=ημΒ+ημ(Α-Γ) =>
ημΒ=ημ(Α-Γ) => Β=Α-Γ ή Β=π+Α-Γ (αφού πρόκειται για γωνίες τριγώνου)
Η δεύτερη λύση απορρίπτεται εύκολα αρκεί να αναλογιστούμε πως Α+Β+Γ=π => Α+Β+Γ=Β-Α+Γ => ...Α=0 άτοπο.
Αν Β=Α-Γ τότε Α=Β+Γ => ...Α=π/2
'Εχω α=2γ => ημΑ=2ημΓ (απο το νόμο των ημιτόνων) (1)
Επιπλέον: Β=2Γ =>ημΒ=ημ2Γ => ημΒ=2ημΓσυνΓ => ημΒ=ημΑσυνΓ => 2ημΒ=ημ(Α+Γ)+ημ(Α-Γ) => 2ημΒ=ημΒ+ημ(Α-Γ) =>
ημΒ=ημ(Α-Γ) => Β=Α-Γ ή Β=π+Α-Γ (αφού πρόκειται για γωνίες τριγώνου)
Η δεύτερη λύση απορρίπτεται εύκολα αρκεί να αναλογιστούμε πως Α+Β+Γ=π => Α+Β+Γ=Β-Α+Γ => ...Α=0 άτοπο.
Αν Β=Α-Γ τότε Α=Β+Γ => ...Α=π/2
Χρήστος Κυριαζής
Re: ΑΣΚΗΣΗ ΣΕ ΤΡΙΓΩΝΟ
Γεωμετρική λύση:
Αν Μ το μέσο της ΒΓ και ΒΔ η διχοτόμος της γωνίας Β τότε:
Το τρίγωνο ΒΔΓ είναι ισοσκελές γιατί Β=2Γ. Άρα ΔΜ ύψος και διχοτόμος.
Άρα και ΔΜ=ΔΑ.
Επομένως τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΔΒΜ ίσα. Άρα Α=γων(ΔΜΒ)=90 μοίρες.
Αν Μ το μέσο της ΒΓ και ΒΔ η διχοτόμος της γωνίας Β τότε:
Το τρίγωνο ΒΔΓ είναι ισοσκελές γιατί Β=2Γ. Άρα ΔΜ ύψος και διχοτόμος.
Άρα και ΔΜ=ΔΑ.
Επομένως τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΔΒΜ ίσα. Άρα Α=γων(ΔΜΒ)=90 μοίρες.
- Συνημμένα
-
- Ορθογώνιο τρίγωνο.PNG (9.98 KiB) Προβλήθηκε 1446 φορές
Re: ΑΣΚΗΣΗ ΣΕ ΤΡΙΓΩΝΟ
σωστές και οι δυο...
οκ εγώ του kdortsi είχα σκεφτεί.
Edit: προσθήκη των τόνων από τους Γενικούς Συντονιστές, για να είναι η ορθογραφία σωστή και για να μένουμε στα πλαίσια του κανονισμού (που το απαιτούν ρητά).
οκ εγώ του kdortsi είχα σκεφτεί.
Edit: προσθήκη των τόνων από τους Γενικούς Συντονιστές, για να είναι η ορθογραφία σωστή και για να μένουμε στα πλαίσια του κανονισμού (που το απαιτούν ρητά).
- Μιχάλης Νάννος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3531
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
- Τοποθεσία: Σαλαμίνα
- Επικοινωνία:
Re: ΑΣΚΗΣΗ ΣΕ ΤΡΙΓΩΝΟ
Άλλη μια.
Φέρω τη μεσοκάθετο της ΒΓ και έστω Δ το σημείο τομής με την ΑΓ.
Το τρίγωνο ΔΒΓ είναι ισοσκελές επομένως .
Από το ισοσκελές τρίγωνο ΒΜΑ έχω .
Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΒΔΜ έχω .
Από τις σχέσεις (1), (2) το τετράπλευρο ΑΒΜΔ είναι εγγράψιμο, συνεπώς
Φέρω τη μεσοκάθετο της ΒΓ και έστω Δ το σημείο τομής με την ΑΓ.
Το τρίγωνο ΔΒΓ είναι ισοσκελές επομένως .
Από το ισοσκελές τρίγωνο ΒΜΑ έχω .
Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΒΔΜ έχω .
Από τις σχέσεις (1), (2) το τετράπλευρο ΑΒΜΔ είναι εγγράψιμο, συνεπώς
«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
- Stavroulitsa
- Δημοσιεύσεις: 455
- Εγγραφή: Τρί Ιούλ 14, 2009 1:44 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη (Πολίχνη)
Re: ΑΣΚΗΣΗ ΣΕ ΤΡΙΓΩΝΟ
Καλησπέρα! αυτην η άσκηση έχει ξανασυζητηθεί, ΕΔΩ και ΕΔΩ.
Έχω την εντύπωση πως εκμεταλλεύεστε την έλλειψη χρόνου λόγω διαβάσματος... δε μένει άσκηση για άσκηση!!!
Έχω την εντύπωση πως εκμεταλλεύεστε την έλλειψη χρόνου λόγω διαβάσματος... δε μένει άσκηση για άσκηση!!!
"Millions long for immortality who do not know what to do with themselves on a rainy Sunday afternoon"
Susan Ertz
Susan Ertz
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: ΑΣΚΗΣΗ ΣΕ ΤΡΙΓΩΝΟ
Ίσα που είχα ετοιμάσει δυο ακόμα λύσεις, έρχεται η Σταυρουλίτσα να μάς παραπέμψει ως πιθανά θύματα πρόωρου πώς το λένε, πώς το λένε, α ναι! Αλτσχάιμερ.
Πού να θυμόμαστε οι άμοιροι τις περσινές λύσεις...
Δίνω δύο νέες. Μια τριγωνομετρική (αφιερωμένη σ' αυτούς που διώχνουν την Τριγωνομετρία από τα σχολεία κ.λπ.....). Ξεκινά όπως του Χρήστου, και όπως μια περσινή, αλλά συνεχίζει αλλιώς.
ΠΡΩΤΗ ΛΥΣΗ
Από Ν. Ημιτόνων στο ΑΒΓ:
Από Ν. Συνημιτόνων είναι: , οπότε το ΑΒΓ είναι ορθογώνιο με ορθή τη γωνία .
ΕΡΩΤΗΣΗ - ΠΡΟΕΚΤΑΣΗ: Από το σημείο όπου έχουμε:
μπορούμε να αποφανθούμε απ'ευθείας ότι ;
ΔΕΥΤΕΡΗ ΛΥΣΗ Κατασκευάζουμε ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ. Έστω Μ το μέσο του.
Κατασκευάζουμε τη μεσοκάθετή του (ε) και τον κύκλο (Β, ΒΜ).
ΥΠΟΘΕΣΗ
Έστω Α σημείο του κύκλου (Β, ΒΜ), ώστε . Προφανώς, πρέπει ω < 45°.
Το τρίγωνο ΑΒΓ του οποίου υποθέτουμε την κατασκευή ικανοποιεί την υπόθεση. Θα δείξουμε ότι .
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Η ΑΓ τέμνει την (ε) στο Κ. Φέρνουμε τη ΒΚ. Τότε ΓΚΒ ισοσκελές με ΓΚ = ΒΚ, οπότε .
Τα ΚΒΜ, ΚΒΑ έχουν ΚΒ κοινή, ΜΒ = ΒΑ (ως ακτίνες του ίδιου κύκλου) και , άρα είναι ίσα, οπότε .
ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ - ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ
Το Α ανήκει στον κύκλο με διάμετρο ΒΓ, οπότε Α προσδιορίζεται από την τομή των δύο κύκλων. Τότε και πράγματι, στο ορθογώνιο ΑΒΓ απέναντι της γωνίας 30° η πλευρά γ είναι η μισή της υποτείνουσας α.
Μοιάζει με την περσινή παραλλαγή της Σταυρουλίτσας και την υπόδειξη του Χρήστου Τσιφάκη, αλλά δίνω επιπλέον τη μέθοδο κατασκευής του τριγώνου.
Τι λέτε, να δώσουμε μερικά θέματα ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ - ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗΣ, όπως τα διδασκόμασταν κάποτε στα σχολεία;
Γιώργος Ρίζος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες