Απορία (Γεωμετρία Α Λυκείου)

Γιάννης Σταυριανάκης · #1

Σύμφωνα με το πόρισμα σελίδα 110 της Ευκλείδιας Γεωμετρίας Α και Β Λυκείου ισχύει: Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του ισούται με 30 μοίρες, τότε η απέναντι πλευρά του είναι το μισό της υποτίνουσας και αντίστροφα, αν σε ορθογώνιο τρίγωνο είναι η μια πλευρά το μισό της υποτίνουσας τότε η γωνία απέναντι από τη πλευρά αυτή είναι 30 μοίρες. Η απορία είναι η εξής: Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε οτι μια πλευρά ΑΒ ισούται με το μισό μιας άλλης πλευράς ΒΓ και η γωνία απέναντι απο την ΑΒ ισούται με 30 μοίρες, τότε μπορούμε να αποδείξουμε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο; (Λογικό είναι άμα ίσχυε κάτι τέτοιο να υπήρχε σαν θεώρημα ή σαν άσκηση στο βιβλίο, αλλά επειδή ρωτώντας και καθηγητή δεν πήρα κάποια απάντηση εκφράζω την απορία μου εδώ)

#2

Γιάννης Σταυριανάκης έγραψε:Σύμφωνα με το πόρισμα σελίδα 110 της Ευκλείδιας Γεωμετρίας Α και Β Λυκείου ισχύει: Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του ισούται με 30 μοίρες, τότε η απέναντι πλευρά του είναι το μισό της υποτίνουσας και αντίστροφα, αν σε ορθογώνιο τρίγωνο είναι η μια πλευρά το μισό της υποτίνουσας τότε η γωνία απέναντι από τη πλευρά αυτή είναι 30 μοίρες. Η απορία είναι η εξής: Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε οτι μια πλευρά ΑΒ ισούται με το μισό μιας άλλης πλευράς ΒΓ και η γωνία απέναντι απο την ΑΒ ισούται με 30 μοίρες, τότε μπορούμε να αποδείξουμε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο; (Λογικό είναι άμα ίσχυε κάτι τέτοιο να υπήρχε σαν θεώρημα ή σαν άσκηση στο βιβλίο, αλλά επειδή ρωτώντας και καθηγητή δεν πήρα κάποια απάντηση εκφράζω την απορία μου εδώ)

Αγαπητέ Γιάννη, πολύ ενδιαφέρον ερώτημα.
Αν έχεις διδαχτεί τον Νόμο Ημιτόνων, μπορείς να δουλέψεις ώς εξής:

Από Νόμο Ημιτόνων στο ΑΒΓ:

$\displaystyle \frac{\gamma }{{\eta \mu \Gamma }} = \frac{\alpha }{{\eta \mu {\rm A}}}\; \Rightarrow \frac{\gamma }{{\eta \mu 30^\circ }} = \frac{{2\gamma }}{{\eta \mu {\rm A}}}\; \Rightarrow \eta \mu {\rm A} = 2 \cdot \eta \mu 30^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ , άρα Α ορθή γωνία.

Γιώργος Ρίζος

Ανδρέας Πούλος · #3

Αγαπητέ Γιάννη,
θα σου απαντήσω όχι σύμφωνα με τα αξιώματα και τα θεωρήματα που έχετε διδαχθεί έως τώρα στην Ευκλείδεια Γεωμετρία, αλλά με τη βοήθεια της ύλης της Γ Γυμνασίου.
Συγκεκριμένα με τη βοήθεια του του θεωρήματος των συνημιτόνων και του αντίστροφου του Πυθαγόρειου θεωρήματος.
Έστω λοιπόν ΑΒ = α και ΒΓ = 2α και γωνία Γ = 30 μοίρες.
Από θεώρημα συνημιτόνου για το τρίγωνο ΑΒΓ αν ονομάσουμε x = ΑΓ έχουμε:

$a^{2} = x^{2} + 4a^{2} -2x2a\frac{\sqrt{3}}{2} = x^{2} +4a^{2} + 2ax\sqrt{3}$ .

Η σχέση αυτή μας οδηγεί στην $\left(\sqrt{3}a - x \right)^{2} = 0 \Rightarrow x = a\sqrt{3}$ .

Αυτό σημαίνει ότι οι πλευρές του τριγώνου μας έχουν μήκη $a\sqrt{3}$ , 2α και α.
Σύμφωνα με το αντίστροφο του Πυθαγόρειου θεωρήματος, το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και μάλιστα η ορθή γωνία είναι η Α.
Προφανώς, το αντίστροφο δεν έχει θέση δίπλα σε αυτό που δίνει το σχολικό βιβλίο, επειδή η απόδειξη του είναι δύσκολη ή απαιτεί θεωρήματα που δεν έχουν αποδειχθεί ακόμη.
Πάντως, αυτό είναι ένα ενδιαφέρον ερώτημα (δηλαδή να αποδειχθεί με τα ήδη γνωστά θεωρήματα) και από την άποψη αυτή είναι μία καλή πρόκληση, ύποθέτω για τους όλους φίλους του Φόρουμ.
Θα προσπαθήσω να απαντήσω, αν και δεν είμαι καθόλου σίγουρος.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

irakleios · #4

Δεν μπορούμε να πάμε και με άτοπο;

δηλαδή υποθέτουμε ότι δεν έιναι ορθή η γωνία Α , τότε από την Β φέρουμε κάθετη ΒΕ στην ΑΓ. Στο ορθογώνιο πλέον ΒΕΓ , η ΒΕ θα είναι το μισό της ΒΓ άρα ίση με την ΑΒ τότε όμως στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΕΑ θα είχαμε ότι η υποτείνουσα θα ήταν ίση με την κάθετη πλευρά!! ¨Ατοπο , άρα Α ορθή γωνία.

#5

Είναι:
$\left(\frac{a}{2} \right)^2=a^2+b^2-2abcos30^0$ (1)
όπου στο σχήμα είναι η γωνία C=30 μοίρες και η c=a/2.
η σχέση (1) γίνεται:
$3a^2-(4b\sqrt{3})a+4b^2=0$
που έχει διακρίνουσα μηδέν και συνεπώς μια διπλή ρίζα την
$a=\frac{2b\sqrt{3}}{3}$
Άρα:
$b^2+c^2=b^2+\frac{a^2}{4}=b^2+\frac{\frac{4b^2.3}{9}}{4}=b^2+\frac{3b^2}{9}=\frac{12b^2}{9}=a^2$
Δηλαδή ορθογώνιο στο Α. (Το πυθαγόρειο θεώρημα είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη)

(αν και με πρόλαβε ο Γιώργος και ο Ανδρέας)

Ανδρέας Πούλος · #6

Αγαπητέ Irakleios έχεις απόλυτο δίκαιο.
Μάλιστα, είναι η άσκηση 8 στη σελίδα 129 του προηγούμενου σχολικού βιβλίου
Ευκλείδειας Γεωμετρίας έκδοση ΟΕΔΒ 1999-2000, στη συγγραφική ομάδα του οποίου ήμουν μέλος.
Εκεί η απόδειξη γίνεται όπως εσύ προτείνεις.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

irakleios · #7

Ανδρέας Πούλος έγραψε:Αγαπητέ Irakleios έχεις απόλυτο δίκαιο.
Μάλιστα, είναι η άσκηση 8 στη σελίδα 129 του προηγούμενου σχολικού βιβλίου
Ευκλείδειας Γεωμετρίας έκδοση ΟΕΔΒ 1999-2000, στη συγγραφική ομάδα του οποίου ήμουν μέλος.
Εκεί η απόδειξη γίνεται όπως εσύ προτείνεις.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

ενδιαφέρον.... έχω το νέο βιβλίο και δεν γνωρίζω αν την έχουν, αν όχι θέλω να ρωτήσω:για ποιό λόγο να βγάλουν μια τέτοια άσκηση;

irakleios · #8

Γιάννης Σταυριανάκης έγραψε:Σύμφωνα με το πόρισμα σελίδα 110 της Ευκλείδιας Γεωμετρίας Α και Β Λυκείου ισχύει: Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του ισούται με 30 μοίρες, τότε η απέναντι πλευρά του είναι το μισό της υποτίνουσας και αντίστροφα, αν σε ορθογώνιο τρίγωνο είναι η μια πλευρά το μισό της υποτίνουσας τότε η γωνία απέναντι από τη πλευρά αυτή είναι 30 μοίρες. Η απορία είναι η εξής: Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε οτι μια πλευρά ΑΒ ισούται με το μισό μιας άλλης πλευράς ΒΓ και η γωνία απέναντι απο την ΑΒ ισούται με 30 μοίρες, τότε μπορούμε να αποδείξουμε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο; (Λογικό είναι άμα ίσχυε κάτι τέτοιο να υπήρχε σαν θεώρημα ή σαν άσκηση στο βιβλίο, αλλά επειδή ρωτώντας και καθηγητή δεν πήρα κάποια απάντηση εκφράζω την απορία μου εδώ)

έχετε φτάσει τόσο μπροστά στην ύλη;

pana1333 · #9

Ανδρέας Πούλος έγραψε:Αγαπητέ Irakleios έχεις απόλυτο δίκαιο.
Μάλιστα, είναι η άσκηση 8 στη σελίδα 129 του προηγούμενου σχολικού βιβλίου
Ευκλείδειας Γεωμετρίας έκδοση ΟΕΔΒ 1999-2000, στη συγγραφική ομάδα του οποίου ήμουν μέλος.
Εκεί η απόδειξη γίνεται όπως εσύ προτείνεις.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Καλησπέρα Ανδρέα. Μπερδεύτηκα λίγο διότι επειδή το κοίταξα η λύση είναι διαφορετική (όχι με άτοπο δηλαδή)(απλά Θεωρεί διάμεσο ΑΜ της ΒΓ και τα λοιπά). Η άσκηση δίνει ως δεδομένο γωνία 60 μοιρών και όχι 30 μοιρών. Μου φαίνεται διαφορετική. Ίσως κάνω και λάθος. Προφανώς ξέρεις καλύτερα ως μέλος......
Θα συμφωνήσω όμως ότι είναι πρόκληση να λυθεί με τα ήδη γνωστά θεωρήματα της Γεωμετρίας.

Φιλικά
Χρήστος

Υ.Σ

Συγκεκριμένα η άσκηση λέει (για όσους δεν έχουν την συγκεκριμένη έκδοση)

Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε Β=60 και ΑΒ=ΒΓ/2 να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο

Γιάννης Σταυριανάκης · #10

Σας ευχαριστώ όλους για τις αποδείξεις σας. Ιδιαίτερα κομψή η απόδειξη με άτοπο χωρίς να θέλω να μειώσω φυσικά καμία απο τις υπόλοιπες αποδείξεις. Όσον αφορά το γιατί έχει περικοπεί μια τέτοια άσκηση: νομίζω είναι ξεκάθαρο πως γίνονται περικοπές στην ύλη σε πολλά σημεία στα οποία απαιτείται λίγο περισσότερη σκέψη/προσπάθεια. Είμαι μαθητής 2ας Λυκείου και τα παραπάνω τα είχα διδαχθεί πέρισυ ,όταν και μου είχε δημιουργηθεί η απορία, απλά σε ένα ξεφύλισμα του βιβλίου πρόσφατα έπεσα στο συγκεκριμένο κομμάτι και θυμήθηκα την απορία που είχα θέσει στον καθηγητή και την απάντηση που πότε δεν έλαβα απο αυτον

makisman · #11

και μια απο εμενα τελευταια και καταιδρωμενη

: trigono.jpg (22.92 KiB) Προβλήθηκε 4635 φορές

η τελευταια προταση "ΑΒΓ ορθογωνιο"

Ανδρέας Πούλος · #12

Χρήστο,
εχεις δίκαιο.
η περίπτωση με τις 60 μοίρες είναι απλούστερη από αυτή με τις 30 μοίρες.
Έχω βιάστηκα και νόμιζα ότι είναι του ίδιου βαθμού δυσκολίας με την προτεινόμενη.
Η απαγωγή σε άτοπο, νομίζω ότι είναι το καλύτερο "φάρμακο" για την περίπτωσή μας.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

G.Tsikaloudakis · #13

Μια άλλη απόδειξη:
Έστω ΒΓ=2ΑΒ και $\displaystyle{\widehat B = {30^o}}$ .
Σχηματίζω γωνία (εξωτερικά του ΑΒΓ)
$\displaystyle{A\widehat B\Delta = {30^o}}$ , με ΒΔ=ΒΓ.
Τότε τα τρίγωνα ΑΒΔ, ΑΒΓ είναι ίσα και το ΒΓΔ ισόπλευρο.
Όπότε : ΓΔ=ΑΓ+ΑΔ , άρα Α,Γ,Δ συνευθειακά και συνεπώς
$\displaystyle{B\widehat A\Gamma = {90^o}}$ .
Γ. Τσικαλουδάκης

Απορία (Γεωμετρία Α Λυκείου)

Απορία (Γεωμετρία Α Λυκείου)

Re: Απορία (Γεωμετρία Α Λυκείου)

Re: Απορία (Γεωμετρία Α Λυκείου)

Re: Απορία (Γεωμετρία Α Λυκείου)

Re: Απορία (Γεωμετρία Α Λυκείου)

Re: Απορία (Γεωμετρία Α Λυκείου)

Re: Απορία (Γεωμετρία Α Λυκείου)

Re: Απορία (Γεωμετρία Α Λυκείου)

Re: Απορία (Γεωμετρία Α Λυκείου)

Re: Απορία (Γεωμετρία Α Λυκείου)

Re: Απορία (Γεωμετρία Α Λυκείου)

Re: Απορία (Γεωμετρία Α Λυκείου)

Re: Απορία (Γεωμετρία Α Λυκείου)

Μέλη σε σύνδεση