Άσκηση στα τρίγωνα (Εικοσιδωδεκάεδρον 05)

#1

Σε ορθογώνιο τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ με υποτείνουσα ${\rm B}\Gamma$ φέρνουμε το ύψος ${\rm A}\Delta$ , τη διχοτόμο ${\rm B}{\rm Z}$ του τριγώνου ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ , που τέμνει την ${\rm A}\Delta$ στο ${\rm E}$ και τη διχοτόμο της $\angle \Delta {\rm A}\Gamma$ , που τέμνει τη ${\rm B}\Gamma$ στο ${\rm P}$ . Να αποδειχθεί ότι το τετράπλευρο ${\rm A}{\rm E}{\rm P}{\rm Z}$ είναι ρόμβος.

Μια πιο σχολική εκδοχή για εξετάσεις:
Σε ορθογώνιο τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ με υποτείνουσα ${\rm B}\Gamma$ φέρνουμε το ύψος ${\rm A}\Delta$ , τη διχοτόμο ${\rm B}{\rm Z}$ του τριγώνου ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ , που τέμνει την ${\rm A}\Delta$ στο ${\rm E}$ και τη διχοτόμο της $\angle \Delta {\rm A}\Gamma$ , που τέμνει τη ${\rm B}\Gamma$ στο ${\rm P}$ . Να αποδειχθεί ότι το τετράπλευρο ${\rm A}{\rm E}{\rm P}{\rm Z}$ είναι ρόμβος.

α) Οι $\angle {\rm A}{\rm B}\Delta ,\,\angle \Delta {\rm A}\Gamma$ είναι ίσες.

β) Το $\triangle {\rm B}{\rm A}{\rm P}$ είναι ισοσκελές.

γ) Η ${\rm P}{\rm E}$ είναι κάθετη στην ${\rm A}{\rm B}$ .

δ) Το τετράπλευρο ${\rm A}{\rm E}{\rm P}{\rm Z}$ είναι ρόμβος.

(Μπορεί να τη βάλουμε τον Ιούνιο ως 4ο θέμα. Όσοι ...διαβάζουν

χαλάλι τους! Και όσοι ξέρουν και εγγράψιμα, ακόμα καλύτερα!)

Μπάμπης

Stavroulitsa · #2

Καλησπέρα! Επειδή δεν προλαβαίνω να απαντήσω τώρα, βάζω το σχήμα και θα απαντήσω πιο μέτα...
ΥΓ. Υπόσχομαι να μικρύνω το σχήμα...

Ιστοσελίδα · #3

Βάζω ένα μικρό σχήμα και περιμένουμε τη λύση της Σταυρούλας ή οποιουδήποτε άλλου μαθητή (μικρού ή μεγάλου

)

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #4

Επειδή η άσκηση έμεινε για να την προσπαθήσουν μαθητές, θα δώσω το παρακάτω σχήμα σαν υπόδειξη.

: ΡΟΜΒΟΣ.png (24.87 KiB) Προβλήθηκε 1211 φορές

Stavroulitsa · #5

Καλησπέρα! Μιας που είμαι άρρωστη και δεν πήγα σχολείο, έχω χρόνο να απαντήσω...

α). Θα ισχύει $A\hat{B}\Delta =\Delta \hat{A}\Gamma$ διότι έχουν κάθετες πλευρές ( $B\Delta \perp A \Delta$ και $AB\perp A\Gamma$
β). Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΒΔ είναι όμοια επειδή $A\hat{\Delta }B=B\hat{A}\Gamma =90^o$ και η γωνία $\hat{B}$ είναι κοινή. Άρα $\Delta \hat{A}B=\hat{\Gamma }$ , άρα ωσ εξωτερική γωνία θα ισχύει $A\hat{P}B=\hat{\Gamma }+ \hat{\varphi }$ , επίσης $P\hat{A}B=P\hat{A}\Delta +\Delta \hat{A}B=\hat{\varphi }+\hat{\Gamma }=A\hat{P}B$ , άρα το τρίγωνο ΡΑΒ είναι ισοσκελές.
γ). παρατηρούμε πως $BK\perp PA$ επειδή ΡΑΒ είναι ισοσκελές και ΒΚ διχοτόμος της γωνίας Β, άρα θα είναι και ύψος του τριγώνου, επίσης $A\Delta \perp PB$ άρα το Ε είναι ορθόκεντρο του τριγώνου και η ΡΕ θα είναι επίσης ύψος του τριγώνου ΡΑΒ.
δ). Στο ΡΖΑΕ η ΚΒ είναι και μεσοκάθετος του τριγώνου ΡΑΒ και τα τριγώνα ΑΖΚ και ΚΑΕ είναι ίσα ΓΠΓ (ΑK διχοτόμος της γωνίας Α, ΑΚ κοινή και είναι ορθογώνια) επομένως ΖΚ=ΕΚ (1), ΑΚ=ΚΡ (2) και $AP \perp ZE$ (3), από αυτές τις 3 σχέσεις συμπεραίνουμε πως οι διαγώνιοι είναι κάθετοι και διχοτομούνται, άρα είναι ρόμβος.

Stavroulitsa · #6

Θα βάλω ακόμη έναν τρόπο για το τελευταίο. Το τετράπλευρο ΑΖΡΒ είναι εγγεγραμμένο διότι $Z\hat{B}P=P\hat{A}Z=\hat{\varphi }$ , όμως $Z\hat{P}A=A\hat{B}Z=P\hat{A}Z=\hat{\varphi }$ άρα το τρίγωνο ΡΖΑ είναι ισοσκελές και ΑΖ=ΡΖ επίσης θα ισχύει $Z\hat{P}A=E\hat{A}P$ άρα ΖΡ//ΑΕ και από το προηγούμενο ερώτημα γνωρίζουμε πως ΖΑ//ΡΕ επομένως αφού το σχήμα έχει παράλληλες τις απέναντι πλευρές του και ίσες δύο διαδοχικές πλευρές του ίσες.

Άσκηση στα τρίγωνα (Εικοσιδωδεκάεδρον 05)

Άσκηση στα τρίγωνα (Εικοσιδωδεκάεδρον 05)

Re: Άσκηση στα τρίγωνα

Re: Άσκηση στα τρίγωνα

Re: Άσκηση στα τρίγωνα

Re: Άσκηση στα τρίγωνα

Re: Άσκηση στα τρίγωνα

Μέλη σε σύνδεση