Πράσινη ισορροπία

KARKAR · #1

Από το ίχνος

του ύψους

τριγώνου

, φέρω $DE \;// \;CA$ .

Η

τέμνει το ύψος στο

και η

την πλευρά

στο

Να δειχθεί ότι το τρίγωνο HDC

είναι ισοσκελές .

#2

Είναι γνωστό ότι: για κάθε σημείο Z του ύψους AD το ύψος διχοτομεί τη γωνία EDH. (Θέλει απόδειξη)
Άρα:
$\displaystyle \hat{\varphi }=\hat{\omega }$
Επειδή η DE//AC θα είναι:
$\displaystyle \hat{\varphi }=\hat{\theta }$
Άρα:
$\displaystyle \hat{\alpha }=\frac{\pi }{2}-\hat{\omega }$
και
$\displaystyle \hat{\beta }=\frac{\pi }{2}-\hat{\theta }$
από τις σχέσεις αυτές προκύπτει το ζητούμενο.

Ιστοσελίδα · #3

Πρόταση: Σε ένα τραπέζιο, η ευθεία που ορίζεται από το σημείο τομής των μη παραλλήλων πλευρών του και το σημείο τομής των διαγωνίων του,
διχοτομεί τις δύο βάσεις του.

Χρησιμοποιώντας την προηγούμενη πρόταση, στο τραπέζιο DEAC,

η ευθεία

διχοτομεί την AC.

Δηλαδή το

είναι το μέσο του AC.

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ADC,

η

είναι διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσά του, άρα το τρίγωνο HDC

είναι ισοσκελές.

Απόδειξη πρότασης:
Σύμφωνα με το παρακάτω σχήμα, φέρνουμε EZ // AB, CD

και έχουμε:

Στο τρίγωνο $ADC: \; \dfrac{EK}{DC} = \dfrac{AK}{AC}$

Στο τρίγωνο $BDC: \; \dfrac{KZ}{DC} = \dfrac{BK}{BD}$

Από θεώρημα Θαλή: $\dfrac{AK}{AC} = \dfrac{BK}{BD}$

Άρα $\dfrac{EK}{DC} = \dfrac{KZ}{DC} \Rightarrow EK = KZ.$

Από θεώρημα Θαλή: $\dfrac{AM}{EK} = \dfrac{MB}{KZ} = \dfrac{OM}{OK}$

Άρα AM = MB.

Όμοια

μέσο του

#4

Αναρτώ την βοηθητική πρόταση που χρησιμοποίησα στην απόδειξή μου που λέει ότι:
Αν Μ είναι τυχαίο σημείο του ύψους ΑΔ ενός τριγώνου και Ε, Ζ τα σημεία που οι ΓΜ, ΒΖ
τέμνουν τις ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα τότε το ύψος ΑΔ διχοτομεί τη γωνία ΕΔΖ.
Απόδειξη:
Αρκεί να δειχθεί ότι ισχύει
$\displaystyle A\Sigma =AP \ \ (1)$
όπου Σ και Ρ είναι τα σημεία τομής της παραλλήλου προς τη βάση ΒΓ και των προεκτάσεων των ΔΕ και ΔΖ αντίστοιχα.
Έστω ακόμα τα Κ, Λ τα σημεία τομής της παραλλήλου αυτής με τις προεκτάσεις των ΓΕ και ΒΖ αντίστοιχα.
Από το θεώρημα της δέσμης με κέντρο το σημείο Μ είναι:
$\displaystyle \frac{AK }{\Gamma \Delta }=\frac{A\Lambda }{B\Delta }\Rightarrow AK .B\Delta =\Gamma \Delta .A\Lambda \ \ (2)$
Από το ίδιο θεώρημα και με κέντρο το σημείο Ε προκύπτει:
$\displaystyle \frac{A\Sigma }{B\Delta }=\frac{AK}{B\Gamma }\Rightarrow A\Sigma =\frac{AK.B\Delta }{B\Gamma } \ \ (3)$
τέλος από το ίδιο θεώρημα και με κέντρο το σημείο Ζ θα είναι:
$\displaystyle \frac{AP }{\Gamma \Delta }=\frac{A\Lambda }{B\Gamma }\Rightarrow AP =\frac{A\Lambda .\Gamma \Delta }{B\Gamma } \ \ (4)$
Από τις σχέσεις (2),(3) και (4) προκύπτει η (1).

badoun · #5

Μετά την παραπάνω όμορφη απόδειξη της πρότασης του κ. Κώστα(που τον ευχαριστώ ιδιαίτερα),να δώσω κι εγώ μια λίγο διαφορετική λύση.

Έχουμε λοιπόν τα εξής:

Απο το Η φέρνουμε $HF \perp DC$
Απο την προηγούμενη πρόταση έχουμε οτι $\hat{D_1}=\hat{D_2}$ (1)
Επίσης $\hat{D_1}=\hat{H_1}$ (2) ως εντός εναλλάξ
και $\hat{D_2}=\hat{H_2}$ (3) ως οξείες γωνίες με παράλληλες πλευρές.

Από (1),(2) και (3) έχουμε οτι $\hat{H_1}=\hat{H_2}$ .
Δηλαδή η HF είναι ύψος και διχοτόμος,άρα το τρίγωνο $\widetriangle{DHC}$ είναι ισοσκελές!

KARKAR · #6

Μία ακόμη αντιμετώπιση .

Φέρω EK , HL

, κάθετες στην

.Από τα όμοια τρίγωνα EZS , HZT

,προκύπτει :

$\displaystyle \frac{ES}{HT} =\frac{DK}{DL}$ (1), ( DK , DL

ισούνται προς τα ύψη των τριγώνων).

Από Θ. Θαλή παίρνω : $\displaystyle \frac{ES}{EK}=\left(\frac{AZ}{AD} \right)=\frac{HT}{HL}\Leftrightarrow \frac{ES}{HT}=\frac{EK}{HL}$ (2)

Από (1),(2) έχω : $\displaystyle \frac{EK}{HL}=\frac{DK}{DL}$ , δηλαδή τα τρίγωνα DEK , DHL

είναι όμοια , οπότε $\alpha = \beta$ .

Συνέπειες : 1η) Απεδείχθη (με άλλο τρόπο) , ότι : $\hat{D_{1}}=\hat{D_{2}}$

2η) Επειδή δε $\beta =\gamma$ (εντός-εκτός και επί τα αυτά) , απεδείχθη ότι το DHC

είναι ισοσκελές .

Ιστοσελίδα · #7

KARKAR έγραψε:Από το ίχνος του ύψους τριγώνου , φέρω $DE \;// \;CA$ . Η τέμνει το ύψος στο και η την πλευρά στο . Να δειχθεί ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Καλησπέρα. Μια απάντηση εκτός φακέλου σε μια παλιά ανάρτηση του Θανάση.

: Πράσινη-ισορροπία.png (13.02 KiB) Προβλήθηκε 1489 φορές

Από θεώρημα Ceva στο $\triangleleft ABC$ και θεώρημα Θαλή, προκύπτει ότι η

είναι διάμεσος προς την υποτείνουσα του ορθογωνίου $\triangleleft ADC$ .

#8

KARKAR έγραψε:Από το ίχνος του ύψους τριγώνου , φέρω $DE \;// \;CA$ .Η τέμνει το ύψος στο και η την πλευρά στο .Να δειχθεί ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές .

Από το πλήρες τετράπλευρο προκύπτει ότι η δέσμη είναι αρμονική και με $DE\parallel AC\Rightarrow M$ το μέσο της $AC\overset{\angle ADC={{90}^{0}}}{\mathop{\Rightarrow }}\,DHC$ ισοσκελές

Στάθης

#9

KARKAR έγραψε:Από το ίχνος του ύψους τριγώνου , φέρω $DE \;// \;CA$ .

Η τέμνει το ύψος στο και η την πλευρά στο

Να δειχθεί ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές .

Χριστός Ανέστη ,Χρόνια πολλά σε όλους.

Επί το στοιχειωδέστερον τα του Μεγάλου Στάθη .

: Πράσινη ισορ.png (19.36 KiB) Προβλήθηκε 1412 φορές

Στο τραπέζιο EDCA

η ευθεία

ενώνει το σημείο τομής των διαγωνίων του με το σημείο τομής των μη παραλλήλων πλευρών του και άρα διέρχεται από τα μέσα των βάσεων του .

Την απόδειξη της πρότασης κάνει πιο πάνω ο Φίλος ο Μιχάλης.

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ADC

η διάμεσος

προς την υποτείνουσα του ισούται με το μισό της , δηλαδή DH = HC

.

Φιλικά Νίκος

Πράσινη ισορροπία

Πράσινη ισορροπία

Re: Πράσινη ισορροπία

Re: Πράσινη ισορροπία

Re: Πράσινη ισορροπία

Re: Πράσινη ισορροπία

Re: Πράσινη ισορροπία

Re: Πράσινη ισορροπία

Re: Πράσινη ισορροπία

Re: Πράσινη ισορροπία

Μέλη σε σύνδεση