Λίγο απ όλα και ομοκυκλικά

erxmer · #1

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Α=90 μοίρες και ΑΒ<ΑΓ και το ύψος του ΑΔ. Αν Μ, Ε, Ζ είναι τα μέσα των πλευρών ΒΓ, ΑΓ, ΑΒ αντίστοιχα δείξτε οτι

α) Το Δ είναι μεταξύ Β και Μ

β) Το τετράπλευρο ΔΜΕΖ είναι ισοσκελές τραπέζιο

γ) Τα Α,Ζ,Δ,Μ,Ε είναι ομοκυκλικά

hlkampel · #2

α) Είναι $\widehat{{\rm B}{\rm A}{\rm M}} < 90^\circ$ , $\widehat{\rm B} < 90^\circ$ και ${\widehat{\rm M}_1} < 90^\circ$ επειδή τα τρίγωνα ${\rm A}{\rm M}{\rm B}$ και ${\rm A}{\rm M}\Gamma$ έχουν ${\rm A}{\rm M}$ κοινή ${\rm B}{\rm M} = {\rm M}\Gamma$ ( ${\rm A}{\rm M}$ διάμεσος) και ${\rm A}\Gamma > {\rm A}{\rm B}$ ,
οπότε ${\widehat{\rm M}_1} < 90^\circ$ και $\widehat{\Gamma {\rm M}{\rm A}} > 90^\circ$ γιατί ${\widehat{\rm M}_1}$ και $\widehat{\Gamma {\rm M}{\rm A}}$ παραπληρωματικές. Έτσι το τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}{\rm M}$ είναι οξυγώνιο, οπότε το ύψος ${\rm A}\Delta$ είναι εσωτερικό του τριγώνου,
δηλαδή το $\Delta$ είναι μεταξύ των ${\rm B}$ και ${\rm M}$ .

β) Κλασσικό.
$\Delta {\rm Z} = \frac{{{\rm A}{\rm B}}}{2}$ (1) ως διάμεσος στην υποτείνουσα ${\rm A}{\rm B}$ του ορθ.τριγώνου ${\rm A}\Delta {\rm B}$ .
${\rm M}{\rm E} = \frac{{{\rm A}{\rm B}}}{2}$ (2) γιατί ενώνει τα μέσα των πλευρών ${\rm B}\Gamma$ και ${\rm A}\Gamma$ του τριγώνου ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ .
${\rm Z}{\rm E}//{\rm B}\Gamma$ (3) γιατί ενώνει τα μέσα των πλευρών ${\rm A}{\rm B}$ και ${\rm A}\Gamma$ του τριγώνου ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ .
Από τις (1) , (2) , (3) συμπεραίνουμε ότι το $\Delta {\rm M}{\rm E}{\rm Z}$ είναι ισοσκελές τραπέζιο.

γ) Αν ${\rm K}$ είναι το μέσο της ΑΜ, τότε:
$\Delta {\rm K} = \frac{{{\rm A}{\rm M}}}{2}$ (4) ως διάμεσος στην υποτείνουσα ${\rm A}{\rm M}$ του ορθ.τριγώνου ${\rm A}\Delta {\rm M}$
${\rm K}{\rm A} = {\rm K}{\rm M} = \frac{{{\rm A}{\rm M}}}{2}$ (5)
${\rm K}{\rm E} = \frac{{{\rm M}\Gamma }}{2} = \frac{{\frac{{{\rm A}{\rm B}}}{2}}}{2} = \frac{{{\rm A}{\rm M}}}{2}$ (6) γιατί το ${\rm K}{\rm E}$ ενώνει τα μέσα των πλευρών ${\rm A}{\rm M},\;{\rm A}\Gamma$ του τριγώνου ${\rm A}{\rm M}\Gamma$ και ${\rm A}{\rm M} = \frac{{{\rm B}\Gamma }}{2}$ ως διάμεσος στην υποτείνουσα ${\rm B}\Gamma$ του ορθ.τριγώνου ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ .
${\rm K}{\rm Z} = \frac{{{\rm M}{\rm B}}}{2} = \frac{{\frac{{{\rm A}{\rm B}}}{2}}}{2} = \frac{{{\rm A}{\rm M}}}{2}$ (7) γιατί το ${\rm K}{\rm Z}$ ενώνει τα μέσα των πλευρών ${\rm A}{\rm M},\;{\rm A}\Gamma$ του τριγώνου ${\rm A}{\rm M}{\rm B}$ .
Από (4), (5), (6) και (7) είναι ${\rm K}{\rm A} = {\rm K}{\rm A} = {\rm K}\Delta = {\rm K}{\rm M} = {\rm K}{\rm E}$ , δηλαδή τα σημεία ${\rm A},\;{\rm Z},\;\Delta ,\;{\rm M},\;{\rm E}$ είναι ομοκυκλικά σε κύκλο με κέντρο το μέσο ${\rm K}$ της διαμέσου ${\rm A}{\rm M}$ και ακτίνα $\frac{{{\rm A}{\rm M}}}{2}$

Ιστοσελίδα · #3

Tα α και γ ερωτήματα με διαφορετικό τρόπο, το β με τον ίδιο.

α) Είναι $\displaystyle{AM = \frac{{B\Gamma }}{2} = MB}$ συνεπώς το τρίγωνο $\displaystyle{ AMB}$ είναι ισοσκελές άρα
$\displaystyle{\mathop {BAM}\limits^ \wedge = \mathop B\limits^ \wedge }$ και $\displaystyle{\mathop \omega \limits^ \wedge = 90 - \mathop {\rm B}\limits^ \wedge }$

Έστω ότι:
$\displaystyle{ \mathop \omega \limits^ \wedge \ge \mathop {{\rm B}AM}\limits^ \wedge \Rightarrow 90 - \mathop {\rm B}\limits^ \wedge \ge \mathop B\limits^ \wedge \Rightarrow \mathop B\limits^ \wedge \le 45 \Rightarrow \mathop B\limits^ \wedge \le \mathop \Gamma \limits^ \wedge }$

άρα είναι $\displaystyle{AB \ge A\Gamma }$ , άτοπο,
επομένως είναι
$\displaystyle{\omega < \mathop {BAM}\limits^ \wedge }$ ,
συνεπώς το σημείο Δ βρίσκεται μεταξύ των Β και Μ.

β) Τα σημεία Ε και Ζ είναι μέσα πλευρών, συνεπώς $\displaystyle{EZ//B\Gamma \Rightarrow EZ//M\Delta }$ , άρα το τετράπλευρο $\displaystyle{EM\Delta Z}$ είναι τραπέζιο.
Επιπλέον, τα σημεία Ε και Μ είναι μέσα πλευρών άρα $\displaystyle{EM = \frac{{AB}}{2}}$ (1) .
Ακόμη στο τρίγωνο $\displaystyle{A\Delta B}$ η $\displaystyle{\Delta {\rm Z}}$ είναι διάμεσός του άρα $\displaystyle{ \Delta Z = \frac{{AB}}{2} }$ (2)

Από τις σχέσεις (1) και (2) έχουμε ότι $\displaystyle{EM = \Delta Z}$ , άρα το τραπέζιο $\displaystyle{ EM\Delta Z}$ είναι ισοσκελές τραπέζιο.

γ) Τα τρίγωνα $\displaystyle{EMZ}$ και $\displaystyle{ E\Delta M }$ είναι ίσα (γιατί $\displaystyle{ EZ = EZ }$ , $\displaystyle{ EM = MZ }$ , $\displaystyle{ E\Delta = MZ }$ ως διαγώνιες ισοσκελούς τραπεζίου ) ,
επιπλέον είναι $\displaystyle{ \mathop {EMZ}\limits^ \wedge = 90^o }$ αφού το τετράπλευρο $\displaystyle{ EMZA }$ είναι ορθογώνιο , άρα οι γωνίες
$\displaystyle{ \mathop A\limits^ \wedge }$ , $\displaystyle{ \mathop {EMZ}\limits^ \wedge }$ και $\displaystyle{ \mathop {E\Delta Z}\limits^ \wedge }$
βλέπουν υπό ορθή γωνία την $\displaystyle{ EZ }$ ,
άρα τα σημεία $\displaystyle{ A,E,M,\Delta ,Z }$ είναι ομοκυκλικά.

Stavroulitsa · #4

Καλησπέρα! Θα πω μια διαφορετική σκέψη για το 1ο ερώτημα...
έχουμε ΑΓ>ΑΒ άρα θα ισχύει
$A\hat{B}\Gamma >B\hat{\Gamma }A\Leftrightarrow \varepsilon \varphi \hat{B}>\varepsilon \varphi \hat{\Gamma }\Leftrightarrow \frac{A\Delta }{B\Delta }>\frac{A\Delta }{\Delta \Gamma }\Leftrightarrow \Delta \Gamma >B\Delta$
και αναγκαστικά το μέσο Μ θα βρίσκεται στο ευγύγραμμο τμήμα ΔΓ...

Λίγο απ όλα και ομοκυκλικά

Λίγο απ όλα και ομοκυκλικά

Re: Λίγο απ όλα και ομοκυκλικά

Re: Λίγο απ όλα και ομοκυκλικά

Re: Λίγο απ όλα και ομοκυκλικά

Μέλη σε σύνδεση