Τρίγωνα που ταυτίζονται δυο κέντρα τους

[parmenides51]

Να βρείτε (κι αν μπορείτε να αποδείξετε) το είδος τριγώνου στο οποίο ταυτίζονται τα παρακάτω δυο κέντρα τους:
(i) βαρύκεντρο , περίκεντρο
(ii) βαρύκεντρο , έκκεντρο
(iii) βαρύκεντρο , ορθόκεντρο
(iv) έκκεντρο , περίκεντρο
(v) έκκεντρο , ορθόκεντρο
(vi) περίκεντρο , ορθόκεντρο

Υ.Γ. Δεν έχω σε όλα απάντηση, απλώς μου φάνηκε ενδιαφέρον σαν ερώτημα.

edit: Ονομασία κέντρων

[Mihalis_Lambrou]

Αρχίζω με μία παρατήρηση:

Οι ερωτήσεις (i), (iii), (vi) είναι η ίδια ερώτηση διότι τα είναι συνευθειακά (ευθεία Euler) με . Οπότε αν συμπίπτουν τα δύο από αυτά τα σημεία, τότε και το τρίτο είναι στην ίδια θέση.

Τώρα, αν συμπίπτουν τα τότε το κάθε ύψος είναι και διάμεσος. Αλλά αν ένα ύψος είναι διάμεσος, το τρίγωνο είναι ισοσκελές (απλό). Τελικά το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

Φιλικά,

Υ.Γ. Το παραπάνω μπορεί να γίνει και απευθείας, απλά, χωρίς χρήση της ευθείας Euler. Το αφήνω μήπως θέλουν να σχοληθούν οι μαθητές μας


Edit: άλλαξα λίγο την αρχική μου απάντηση.

[Mihalis_Lambrou]

Συμπληρώνω το προηγούμενο.

Αν τότε το ύψος είναι και διχοτόμος, οπότε (απλό από σύκριση των τριγώνων ) . Τελικά το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

Αν τότε τα τρίγωνα είναι ισοσκελή () με παρα την βάση τους γωνία ίσες (). Άρα είναι ίσα και . Τελικά το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

Αν τότε η διχοτόμος είναι και διάμεσος και άρα , οπότε . Τελικά το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

M.

[parmenides51]

Άρα ένα τρίγωνο είναι ισόπλευρο αν και μόνο αν δύο οποιαδήποτε από τα σημεία του ''βαρύκεντρο, έκκεντρο, ορθόκεντρο και περίκεντρο'' ταυτίζονται.

Στο συνημμένο εδώ μια απόδειξη του τύπου που ανέφερε ο Μιχάλης.

Νέο ερώτημα:

Να εξετάσετε αν υπάρχει τρίγωνο στο οποίο ένα του παράκεντρο να ταυτίζεται με ένα από τα σημεία του ''βαρύκεντρο, έκκεντρο, ορθόκεντρο και περίκεντρο''.

[parmenides51]

Αφού ξεχάστηκε ας απαντήσω το εύκολο ...

Νέο ερώτημα:

Να εξετάσετε αν υπάρχει τρίγωνο στο οποίο ένα του παράκεντρο να ταυτίζεται με ένα από τα σημεία του ''βαρύκεντρο, έκκεντρο, ορθόκεντρο και περίκεντρο''.

Τα παράκεντρα ενός τριγώνου είναι σημεία εξωτερικά του τριγώνου.
Το βαρύκεντρο και το έκκεντρο ενός τριγώνου είναι σημεία εσωτερικά ενός τριγώνου.
Άρα δεν υπάρχει τρίγωνο στο οποίο να ταυτίζεται ένα παράκεντρο του με το έκκεντρο ή το βαρύκεντρο.

Τα δύσκολα δικά σας